Lineare Unabhängigkeit zweier Vektoren

Question

1) Zeigen Sie, dass für zwei Punkte \(  v,w\in{ ℝ }^{ n } \) die folgenden Bedingungen äquivalent sind:

a)   \( v≠0\) und es gibt kein \(ρ∈ℝ \) mit \(w=ρ·v \).
b)   \(w≠0 \) und es gibt kein \(σ∈ℝ \) mit \(v=σ·w \).
c)    Sind \(λ,μ∈ℝ \) mit \(λv +μw = 0\), so folgt daraus \(λ= μ = 0 \).

2)

Erfüllen zwei Punkte  \( v,w\in{ ℝ }^{ n } \) eine und damit alle der Bedingungen aus 1), so nennt man sie linear unabhängig. Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptung: 

Sind \(u,v,w \in{ ℝ }^{ n } \) gegeben mit \(u,v \) linear unabhängig und \(v,w\) linear unabhängig, so sind auch \(u,w\) linear unabhängig.

Comments

Zu 2)  Wähle \(w=-u\).

Answer 1

aus a folgt b:   gäbe es v=p*w und w  ungleich 0  hat zur Folge   p ungleich 0

dann wäre w = 1/p * v im Widerspruch zu a

ebenso aus b folgt a.

aus c folgen a oder b :    aus der Gleichug in c folgt  lambda*v =  -my * w 

wäre etwa lambda ungleich Null, dann hättest du  v = -my/ lambda  * w im Widerspruch zu b