Lineare Unabhängigkeit zweier Mengen.

Question

Sei \(V\) ein \(\mathbb{K}-\) Vektorraum und \(A:=\{v_1,...,v_n\}, B:=\{w_1,...,w_m\}\) zwei linear unabhängige Mengen in \(V\), wobei \(|A|<|B|\) gilt. Dann gibt es ein \(v\in B\setminus A\), sodass \(\{v\}\cup A\) linear unabhängig ist.

Ich habe es versucht per Widerspruch zu zeigen:

Betrachte zunächst \(W:=\{w_i\in B:\ w_i\notin A, i\in I\subseteq \{1,...,m\}\}\).

Angenommen, \(\{w_i\}\cup A\) sei für alle \(w_i \in W\) linear anhängig. Dann gibt es \(\lambda^{(i)}_1,...,\lambda^{(i)}_n \in \mathbb{K}\), sodass \(w_i=\sum\limits_{k=1}^n \lambda^{(i)}_k\cdot v_k \) gilt.

Ab hier komme ich nicht mehr weiter, einen Widerspruch zu erzeugen.

Answer 1

Vielleicht hilft es die lineare Hülle <B> von B zu betrachten.

Diese ist ein Unterraum von V mit der Dimension m = |B| > |A| = n.

Somit hat jede Basis von <B> genau m Elemente, insbesondere kiann A keine

solche Basis sein. #

Du hast allerdings aus deiner Annahme ja hergeleitet, dass jedes w_i , welches

nicht in A liegt, sich durch die Elemente von A darstellen lässt. Diejenigen, die in

A liegen tun es auch; da ist die Darstellung einfach nur w_i = w_i (denn das ist ja dann in A.) Damit hast du: A ist ein Erzeugendensystem für <B> und weil A

lin unabh. ist also sogar eine Basis für <B>. Widerspruch zu #