Man betrachte das Würfeln als eine Folge von zwei Ereignissen
$$ (1) \quad K = \text{Keine Sechs gewürfelt} $$
$$ (2) \quad S = \text{Sechs gewürfelt} $$
und stellt sich die Frage, wann zum erstenmal \( n \) Sechsen in Folge auftreten. Wobei \( p \) die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Sechs ist und \( 1-p \) die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer 1,2,3,4 oder 5 ist. Dazu definiert man die folgenden Zufallsvariablen:
Die Zufallsvariable \( T \) sei der Wurf, an dem zum erstenmal \( n \) mal hintereinander eine Sechs gewürfelt wurde. Die Zufallsvariable \( L \) sei der Wurf, für das erste auftreten einer 1,2,3,4 oder 5.
Wenn man die ersten n Würfe betrachtet, kann man zwei Fälle unterscheiden.
$$ (I) \quad \text{Unter den ersten n Würfen taucht das Ereignis K auf} $$
$$ (II) \quad \text{Unter den ersten n Würfen taucht das Ereignis S n-mal auf} $$
Damit ergibt sich für den Erwartungswert von \( T \) folgende Gleichung
$$ (3) \quad E[T] = \sum_{k=1}^n E[T|L=k] \cdot P(L=k) + E[T|L>n] \cdot P(L>n) $$ wobei in der Summe die bedingten Erwartungswerte stehen.
Gleichung (3) kann man unter Ausnutzung von $$ E[T|L=k]=k+E[T] $$ $$ E[T|L>n]=n $$ $$ P(L=k)=p^{k-1}(1-p) $$ und $$ P(L>n)=p^n $$ auch wie folgt schreiben
$$ (4) \quad E[T] = \sum_{k=1}^n \left( k+E[T] \right)p^{k-1}(1-p) + np^n $$
Diese Gleichung nach \( E[T] \) auflösen ergibt
$$ (5) \quad E[T] = \sum_{k=1}^n \frac{1}{p^n} $$
Auflösen kann man die Gleichung (4) unter Benutzung der Formeln für die geometrische Reihe und deren Ableitungen, s.
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
Siehe auch http://math.stackexchange.com/questions/27989/time-until-a-consecutive-sequence-of-ones-in-a-random-bit-sequence/27991#27991
