Sattelpunkt berechnen x³ -3x² +3x -1

Question

Ich soll den Sattelpunkt berechnen...

f(x) = x³ 3x² +3x -1

f'(x)= 3x² -6x +3

f''(x)= 6x -6

f'''(x)= 6

1. Extremwerte :

f'(x) = 0

Notwendige Bedingung

3x² -6x +3 = 0    I :3

x² -2x +1     I PQ Formel

2/2 +/- √(-2/2) -1

x1=1   x2=1

Hinreichende Bedingung für x

f''(x)=F''(1)= 6 x 1 -6 = 0   → Sattelpunkt

Kann mir einer zeigen wie ich jetzt den Sattelpunkt berechne?

Answer 1

der Sattelpunkt hat den x-Wert 1. Wie berechnet man den dazugehörigen y.Wert? Indem man den x-Wert in die Funktion einsetzt. Also:

f(1)=0

Also ist der Sattelpunkt (1/0)

P.S.: Du müsstest noch nachweisen, dass f´´´(1)≠0 ist. Sieht man zwar sofort, würde aber trotzdem Punktabzug geben.

LG

Answer 2

Es langt eigentklich viel weniger zu machen

f(x) = x^3 - 3·x^2 + 3·x - 1

f'(x) = 3·x^2 - 6·x + 3 = 3·(x^2 - 2·x + 1) = 3·(x - 1)^2

An der Stelle 1 hat die Ableitung eine zweifache Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel von + nach + und damit einen Wendepunkt. Der Graph ist streng monoton steigend.

f(1) = 1^3 - 3·1^2 + 3·1 - 1 = 0

Der Wendepunkt ist bei WP(1 | 0)

Damit läßt sich die Funktion sicher auch schreiben als

f(x) = (x - 1)^3