Flächen zwischen Funktionsgraphen ausrechnen (drei Teilflächen)

Question

Aufgabe:

Gegeben sind f(x) und g(x). A bleibt dabei unbekannt.

f(x) = 1/2 x²

g(x) = 1/2 (x³ + x² - 4x)

A = ?

Ich weiß schon wie man so etwas ausrechnet wenn zwei Teilflächen angegeben werden. Wo es jedoch problematisch wird ist wenn ich jetzt plötzlich drei Teilflächen bekomme. Muss ich jetzt genau so vorgehen wie als wenn ich nur 2 Teilflächen hätte?

Kann mir jemand erklären, was ich genau machen soll um dies zu lösen, denn ich will ja was dazulernen und nicht nur das Ergebnis abschreiben.

Answer 1

Als erstes die Schnittpunkte berechnen , Gleichungen gleichsetzen !

1/2x²   =  1/2 x³ +1/2x² -2x ----->  1/2 x³ -2x = 0  , x ausklammern !

x ( 1/2 x²  -2  ) = 0   ,    x= 0 , erste Nullstelle 

1/2x²  = 2  ,    x²  =  4----> x =± √4 =  +2  , -2  

Nullstellen damit  0 , +2  , -2 !!

Dann f(x)  -g(x) 

=  1/2x² - 1/2x³ - 1/2x² +2x

=- 1/3x³  +2x  ------->  Integrieren !Ich habe dann integriert in den Grenzen 2/0  und -2/0  und -2 / -3!

Ich integriere mal in den Grenzen 2/0 , ok.

x² -  x^4 /8  ----->  (2)²  -  (2)^4 /8 =  4  - 16/8  =  4 - 2  =  2 Flächeneinheiten !

Egebnis : 2 FE  + 2 FE  + 3,125 FE  =  7,125 FE  !!   

Comments

Vielen lieben Dank :)

Answer 2

Ja, also du weißt es ja bestimmt schon, einfach deine Differenzfunktion bilden und wenn du die Stammfunktion bildest, also ∫f(x)-g(x)dx dann musst du einfach nur die grenzen zu den Flächen wissen und ob sie sich unterhalb der x-Achse, oder oberhalb befinden, wenn unterhalb dann -∫f(x)-g(x)dx und wenn oberhalb  ∫f(x)-g(x)dx

Also in diesem fall dann:

f(x)-g(x)=h(x)

h(x)=-x*(x^2-4)/4

Schnittpunkte ermitteln zwischen denn 2 Graphen => 0=h(x)

x₁=-2 ; x₂=0 ; x₃=2

∫ im Intervall (erste Fläche) I=[-2,5;-2]

∫h(x)dx=H(x)=H(-2)-H(-2,5)=0,633

∫ im Intervall (zweite Fläche) I=[-2;-0]

-∫h(x)dx=H(x)=H(-2)-H(0)=2

∫ im Intervall (dritte Fläche) I=[0;2]

∫h(x)dx=H(x)=H(2)-H(0)=2

Ages=4,633