Funktionsschar f_a mit f_a(x)=-(x^3/a)+(3/2)x^2 diskutieren

Question

Die Aufgabe lautet:  a.) Diskutiere die Funktionsschar f_a mit f_a(x)=-(x^3/a)+(3/2)x^2

b.) Bestimme die Funktion g, auf deren Graph alle Hochpunkte der Graphen von f_a liegen!

c.) Welcher Bedingung muss die Steigung der Geraden mit der Gleichung y=mx geügen, damit diese Gerade den Graphen von f_a nicht nur im Nullpunkt schneidet?

Answer 1

Zu aller erst mal Ableiten:

f_a(x)=-(x³/a)+(3/2)x²

f'_a(x)=3x-(3*x^2)/a

f''_a(x)=3-(6x)/a

Bedingung für Extrempunkte:

f'_a(x)=0

0=3x-(3*x^2)/a

x₁=a ; x₂=0

Zur Bestimmung für hoch oder Tiefpunkt:

f''_a(x)>0 => Tiefpunkt

f''_a(x)<0  => Hochpunkt

f''_a(a)=-3 => f''_a(a)<0 => Hochpunkt

f''_a(0)=3  => f''_a(0)>0  => Tiefpunkt

Das heißt wir brauchen a

also ist unsere x-Koordinate a

Jetzt setzen wir die noch in f_a(x) ein

f_a(a)=a^2/2

H_p(a|a^2/2)

y=a^2/2  => a=x

y=x^2/2

Answer 2

Nullstellen:    -(x³/a)+(3/2)x²    = 0

x^2 * ( - x/a  + 3/2 ) = 0

x=0  oder -x/ a = -3/2   also   x= 3a/2

Extrempunkte:  f ' (x) = 0     -3x^2/a  + 3x = 0

x *  ( -3x/a + 3 ) = 0

x=0    oder   -3x/a = -3   also  x=a

f ''(x) =  -6x/a + 3  ist >0 für x=0 also dort Tiefpu.

f ' ' ( a)  =  -6+3 = -3 < 0 also Hochpu. bei x=a   Koo:   H(a/   o,5a^2 )

aus  x=a und y= 0,5a^2  ergibt sich   y = o,5 x^2 Das ist die Funktionsgl. von g.

c) Die gehen beide durch den Nullpunkt, egal was m für einen Wert hat.