Determinantenbestimmung einer Matrix

Question

Ich habe die folgende Matrix \(\forall n\ge2\) gegeben:

\(A(n)=\begin{pmatrix} 0 & 1 &  &  &  \\ 1 & 0 & 1 &  &  \\  & \ddots & \ddots & \ddots &  \\  &  & 1 & 0 & 1 \\  &  &  & 1 & 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{(n,n)}\)

Ich soll zeigen, dass \(\text{det(A(n))}=\begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}} & \text{, n gerade} \\ 0 & \text{, n ungerade} \end{cases}\forall n\ge2\)

Das sollte mit Induktion gehen, der Induktionsanfang klappt mit \(n=2\). Wie soll aber der Induktionsschritt aussehen?

Danke.

Answer 1

ich glaub du musst das für die geraden unddie ungeradentrennen.
Dein Anfang für die geraden klappt ja

.

beim nächsten geraden also bei n+2

kommen  an die alte Matrix A(n) 2 Spalten und 2 Zeilen dran, und es entsteht

unten rechts die Matrix  

0   1

1   0 

und nach dem Satz über Blockmatrizen ist die Det dann, die

det ( A(n+2) ) = det (A(n)) * det (  o   1            = (-1) ^n/2 * (-1)  =  (-1) ⁿ⁺² / 2

1    0   )

für die ungeraden ist es noch einfacher. Da beginnt es mit A(3)=0 als

Ind.anfang und dann immer 0*(-1) = 0.

Comments

Also hat man bei dem zweiten Beweis auch A(n+2) im Induktionsschritt, damit das n ungerade bleibt?

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Genau, bei jedem Schrittweite 2, dann hat man am Ende alle.