Φ-1 ist ein Gruppenhomomorphismus, dazu musst du zeigen:
für alle x,y aus G' gilt
Φ-1 Φt( x+y ) = Φ-1 Φt(x) + Φ-1 Φt(y)
wegen der Surjektivität von Φ gibt
es u und z aus G mit Φ(u)=x und Φ(v)=y also
ist u = Φ-1 Φt(x) und v = Φ-1 Φt(y) und damit
u+v = Φ-1 Φt(x) + Φ-1 Φt(y) #
dann ist aber, da Φ ein Hom. ist Φ(u+v) = Φ(u) + Φ(v) = x + y
also ist Φ-1 Φt(x+y) = u+v ##
mit # und ## hat man Φ-1 Φt( x+y ) = Φ-1 Φt(x) + Φ-1 Φt(y) q.e.d.