Ist ihre Summe f + g, definiert durch (f + g)(x) = f (x) g(x) ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus.

Question

Zeigen sie: Sind f , g : G → H zwei Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen (G, ∗) und (H, ◊), dann ist ihre Summe f + g, definiert durch

 (f + g)(x) = f (x) ◊ g(x) 

ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus. 

Answer 1

Du musst  nur prüfen, ob für alle x , y aus G gilt 
  
        ( f+g) (x*y) = (f+g) (x) ◊ (f+g) (y)

Fang mal so an: 

Seien x und y aus G

  ( f+g) (x*y)    nach Def. von +

=   f (x*y)   ◊   g (x*y)

Darauf die HOM. Eigenschaft anwenden

und schreib dir am besten bei jedem Schritt die Begr. dazu


=    etc

=  (f+g) (x) ◊ (f+g) (y)