Anhand einer Funktion etwas zeigen (Grenzübergang) Bsp. lim_(h→0) f(x0+h)-f(x0) / h = 3 * x0

Question

Folgendes Problem: 
Sei f(x) = x³

a) Zeigen Sie, dass lim_h→0 f(2+h)-f(2) / h = 12.
b) Zeigen Sie, dass allgemein lim_h→0 f(x₀+h)-f(x₀) / h = 3 * x₀ Wie soll ich das "zeigen"? Ich habe überhaupt keine Idee.

Comments

es muss heißen 

 lim_h→0 f(x₀+h)-f(x₀) / h = 3 * x₀²

Answer 1

Sei f(x) = x³ 

a) Zeigen Sie, dass lim_h→0 f(2+h)-f(2) / h 

=  lim_h→0 ((2+h)^3 - 2^3)/h

=  lim_h→0 (2^3 + 3* 2^2 h+ 3 * 2 h^2 + h^3  - 2^3)/h 

= lim_h→0 ( 3* 2^2 h+ 3 * 2 h^2 + h^3 )/h 

=  lim_h→0 ( h( 3* 2^2 + 3 * 2 h + h^2) )/h 

=  lim_h→0 ( 3* 2^2 + 3 * 2 h + h^2)

= 12 + 0 + 0  

= 12. 

b) Zeigen Sie, dass allgemein lim_h→0 f(x₀+h)-f(x₀) / h = 3 * x₀

_{Dazu oben überall, wo ich 2 hatte das allgemeine x_(0) einsetzen.} 

Answer 2

Erst mal rechnen:

f(2+h)-f(2) / h  

= ((2+h)³  -  2³  )  / h

=( 8 + 12h + 6h² + h³  - 8 )  / h

=(  12h + 6h² + h³  )  / h im Zähler h ausklammern und mit dem Nenner kürzen, bleibt

12 + 6h+ h² und für h gegen 0 geht das gegen 12.  Also

lim_h→0 f(2+h)-f(2) / h = 12.


 f(x₀+h)-f(x₀) / h   entsprechend

= ((x₀+h)³  -  x₀³  )  / h

=......  wie oben, nur bleibt jetzt

= x₀³ ₊ 3hx₀²  ₊3h²x₀    +  h³  -   x₀³  )   / hund wie oben wird daraus 

3x₀²  ₊3hx₀    +  h²     also für h gegen 0 bleibt  3x₀² 

Answer 3

ei f(x) = x³

a) Zeigen Sie, dass lim_h→0 f(2+h)-f(2) / h = 12.Das ist der Wert der Ableitung an der Stelle 2, also 12.

Aber so ist das wahrscheinlich nicht gemeint. Sondern ((2+h)³-2³)/h = (8+12h+6h²+h³-8)/h = (h(12+6h+h²))/h = 12+6h+h². Jetzt h gegen Null ergibt 12

Zu b) Schreibe überall x₀ statt 2: (( x₀+h)³- x₀³)/h = ( x₀³+3x₀²h+3 x₀h²+h³-x₀³)/h = (h(3x₀²+3 x₀h+h²))/h = 3x₀²+3x₀h+h². Jetzt h gegen Null ergibt 3x₀².