Ungleichungen mit 2 Variablen: a^2 ≤ (2ab/(a+b) )^2 ≤ a*b

Question

Zeigen sie ,dass für a>0 b>0 die Ungleichung gilt:

a^2<= (2ab/(a+b) )^2 <= a*b

hallo meine frage wäre ich das lösen kann

Mfg

Comments

Die Ungleichungskette gilt nur in diese Richtung, wenn \( a \leq b \) gilt.

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Wie löse ich die aufgabe jetzt??

Wie muss ich da vorgehen??

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Die Aufgabe kannst du einfach durch umformen lösen. Es sollte klar sein, dass wegen den Voraussetzungen \( a^2 \leq ab \) gilt

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Kannst du mir vielleicht zeigen wie ich da anfangen soll..

Weis leider echt nett wie man da am besten vorgeht..

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Du solltest eine Ungleichung nach der anderen aufschreiben. Schreib zum Beispiel die erste auf:
$$ a^2 \leq \left( \frac{2ab}{a+b} \right)^2 $$
Jetzt formst du solange um bis du eine Ungleichung hast die offensichtlich wahr ist. Da es nur wenige Schritte erfordert werde ich dir nicht mehr Hinweise geben.

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"Die Ungleichungskette gilt nur in diese Richtung, wenn a≤b gilt."

Nööö ....

siehe meine Antwort

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pleindespoir: Warum bist du so sicher?

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Weil du dir die Voraussetzungen nochmal durchlesen solltest.

Answer 1

$$ a^2\le \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2 \le a\cdot b  $$
würde ich zunächst mal trennen:$$$$
I:$$ a^2\le \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2   $$
und $$$$II:$$ \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2 \le a\cdot b  $$
Dann eben fertig ausarbeiten:$$$$
I:$$ a^2\le \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2   $$
 gleich loswurzeln ( geht, weil Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, aber aufpassen !!! Quadratwurzel liefert ZWEI Egebnisse ): $$$$
Ia:$$ - a\le \frac{\left(2ab\right)}{\left(a+b\right)}   $$
I b:$$ a\le \frac{\left(2ab\right)}{\left(a+b\right)}   $$

Ib:$$ a \cdot \left(a+b\right) \le \left(2ab\right)   $$
Ib:$$  a+b \le 2b   $$
Ib:$$  a+b \le b + b  $$
Ib:$$  a \le b   $$
Die gleiche Prozedur mit Ia ergibt als zusätzliche Lösung:$$$$
Ia:$$  a \ge b   $$
Die Relation gilt also, wenn a grösser oder kleiner oder gleich b ist.
$$$$
So - und die andere Hälfte machst du nun selbst ...

Comments

"Die Relation gilt wenn a größer als b ist"

Falsch. Dein Kommentar oben also eher ein Eigentor.

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Stimmt - ich habe geschlampt !

Bei der Variante Ia passiert folgendes:

Ia:$$ - a\le \frac{\left(2ab\right)}{\left(a+b\right)}   $$
Ia:$$ - a \cdot \left(a+b\right)\le 2ab  $$
Ia:$$ -  \left(a+b\right)\le 2b  $$
Ia:$$ - a-b\le 2b  $$
Ia:$$ - a\le 3b  $$
Ia:$$  a\ge 3b  $$

Ich bitte um gefällige Überprüfung meiner Annahme

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Im letzten Schritt fehlt ein negatives Vorzeichen vor dem 3b. Negative Wurzeln spielen in dieser Aufgabe übrigens überhaupt keine Rolle.

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Danke für den Hinweis - Korrektur:

Ia:$$  a\ge -3b  $$

ich bin heut wieder so unkonzentriert ... tststs