Linearfaktorzerlegung x^4+x^3-x-1

Question

mir bereitet diese Aufgabe gerade etwas Kopfzerbrechen. In dem Titel steht bereits die Aufgabe;

Wie komme ich von x^4+x^3-x-1 auf die Linearfaktoren?

Ich habe einen Knoten im Hirn und finde absolut keinen Ansatz. Beim Ausklammern würde mich die -1 stören, pq-Formel ist ebenfalls nicht drin und weiter weiß ich gerade auch nicht...

Schon mal danke für Eure Antworten!

Answer 1

die erste Nullstelle muss wohl erraten werden (oder Tabellenfunktion)

x=-1 ist eine Nullstelle

(x^4+x^3-x-1):(x+1)=.....

Mit diesem Term das selbe nochmal (Nst. erraten, Polynomdivision)

Dann erhältst du eine quadratische Gleichung → Mitternachs- oder pq-Formel.

P.S. Vielleicht geht's auch einfacher, aber ich würde so an die Aufgabe herangehen.

LG

Answer 2

x⁴+x³-x-1

= x⁴+x³-(x+1)

= x^3* (x+1) - 1*(x+1)      |(x+1) ausklammern

= (x^3 - 1)(x+1)

Nun (x^3 - 1)  = x^3 - x^2 + x^2 - x + x - 1

= x^2 ( x-1) + x(x-1) + (x-1)

= (x^2 + x + 1)(x-1)

x^2 + x + 1 lässt sich in R nicht weiter faktorisieren.

Gesamthaft ergibt sich:

x⁴+x³-x-1 = (x+1)(x-1)(x^2 + x +1)

Comments

Noch schneller geht:

x⁴+x³-x-1               |sortieren

= x^4 - 1 + x^3 - x          | 3. Binom und ausklammern

= (x^2 -1)(x^2 + 1) + x(x^2 -1)           

= (x^2 -1)(x^2 + 1 + x)       | 3. Binom und sortieren

= (x+1)(x-1)(x^2 + x +1)

Answer 3

\(\quad x^4+x^3-x-1=x^3(x+1)-(x+1)\)
\(=(x+1)(x^3-1)=(x+1)(x-1)(x^2+x+1).\)