Rentenumwandlung: Wie hoch ist die nachschüssige Jahresrente?

Question

Herr X möchte seine nachschüssige Jahresrente von 6500 Euro mit 10jähriger Laufzeit auf eine längere Laufzeit umstellen.

Wie hoch ist die nachschüssige Jahresrente, die 15 jahre lang ausbezahlt wird? Zinssatz 6%

Answer 1

Hast du irgendwo verlässliche Formeln?

Ich nehme mal die Formeln von http://www.tfh-wildau.de/baetjer/oldpage/Auf_B1/Prakt/Prakt_B1/Anders/Anders.htm

R_n= r (1-qⁿ) / (1-q)

q = 1 + p/100

Versthst du, was der Zeitablauf r sein soll? Ich setze da mal die Jahresrente ein. Kommentier das bitte, wenn das anders gemeint ist. r scheint in den Beispielen dann die Höhe der Ratenzahlung zu sein.

R₁₀ = 6500 (1-1,06¹⁰) / (1-1.06)

R₁₅ = x (1-1,06¹⁵) / (1-1,06)

Das grosse R müsste dann quasi das Vermögen sein, vorhanden ist.

Jetzt setze ich als 'Umwandlung' die beiden R gleich

 

 6500 (1-1,06¹⁰) / (1-1.06) =  x (1-1,06¹⁵) / (1-1,06)                                       | / { x (1-1,06¹⁵) / (1-1,06)}

6500 (1-1,06¹⁰) / (1-1,06¹⁵) = x = 6500* 0.7908477 / 1.39655 = 3860.8

Ist das normal, dass 15*3860 weniger gibt als 10*6500? Man lässt das Kapital ja länger auf der Bank und sollte so doch eigentlich mehr erhalten. Rechne das bitte noch nach. 

Comments

Ich habe mich inzwischen für eine andere Formel entschieden, da so ein plausibleres Resultat rauskommt, als mit der Formel, die ich gestern gefunden habe. Ich erhalte etwas ähnliches wie Capricorn - aber nicht das Gleiche. Nur Rundungsfehler sind kaum die Ursache für die Abweichung. -> Vorsicht!

Die neue Formel stammt aus Formeln und Tafeln. DMK/DPK 1977.  S.80: 7. Finanzmathematik. Zeitrenten.

Sie bestimmt den Barwert für nachschüssige Renten von 1.- mit einer Laufzeit n. r steht für 1,06.

Also, was sofort ausbezahlt würde, wenn eigentlich eine 10-jährige resp. 15-jährige Rente von 1.- zu zahlen wäre.

$$ \begin{array} { r l } { a _ { n } = } & { \frac { 1 } { r ^ { n } } \frac { r ^ { n } - 1 } { r - 1 } } \\ { a _ { 10 } } & { = \frac { 1 } { 1.06 ^ { 10 } } \frac { 1.06 ^ { 10 } - 1 } { 0.06 } = 7.2012 } \\ { a _ { 15 } } & { = \frac { 1 } { 1.06 ^ { 15 } } \frac { 1.06 ^ { 15 } - 1 } { 0.06 } = 9.71225 } \end{array} $$

Nun ist aber die während 10 Jahren zu bezahlende Rente 6500.-

Somit der Barwert 6500*a₁₀ = 46'808.-

Gesucht ist nun x in x*a₁₅ = 46'808.-

x =  46'808.- / a₁₅ = 4819.-

Kontrolle:

x*15 = 72'291.-  > 10*6500 = 65'000.-

Scheint vernünftiger, da wie erwartet im Ganzen etwas mehr ausbezahlt wird, wenn das Kapital länger verzinst wird.

---

Was ist den jetzt richtig? also das erste was du geschrieben hast erscheint mir richtiger weil wir diese formeln auch in der schule verwenden

vielen dank

---

Hallo Grepor. Du musst leider selbst entscheiden, was jetzt stimmt. Ich bin kein Finanzspezialist.

Als Zahlenwert ist das erste Resultat einfach nicht plausibel. Falls ihr die erste Formel tatsächlich auch beim Ausbezahlen der Rente, nicht nur beim Ansparen der Rente benutzt, hab ich mich vielleicht vertippt.

Melde doch bitte das definitive Resultat gemäss Schule, wenn du's hast. Danke.

---

In der Berechnung der Formel für a₁₀ gibt es noch einen Fehler (7.2012). Sonst stimmen unsere Lösungen überein. Die Formel in meiner Antwort ist nur etwas anders geschrieben (q-1 = i)

Man muss die Formel für den Barwert nehmen, denn eine Versicherung muss den Barwert (Anfangskapital) der Rente finanzieren. Das heisst, das Kapital, das jetzt vorhanden ist, wird in die zukünftigen Renten umgewandelt.

---

Nochmels zu a₁₀:

$$a _ { 10 } = \frac { 1 } { 1.06 ^ { 10 } } \frac { 1.06 ^ { 10 } - 1 } { 0.06 } = 7.36009$$

Nun ist aber die während 10 Jahren zu bezahlende Rente 6500.-

Somit der Barwert 6500*a₁₀ = 47'840.-

Gesucht ist nun x in x*a₁₅ =47'840.-

x =  47'840.- / a₁₅ = 4925.-

Kontrolle:

x*15 = 73'886.-  > 10*6500 = 65'000.-

Scheint vernünftig und stimmt mit Capricorns Lösung überein. Danke.

Answer 2

Ich würde hier die Formel für den Barwert von nachschüssigen Renten verwenden:

 

Die Formel stammt von https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Betriebswirtschaftslehre#Rentenrechnung.7CRentenzahlungen

q = 1.06      i = 0.06        T = 10

Das ergibt für K₀ = 47840  

Das ist das Kapital, das nötig ist, um 10 Jahre lang 6500 Euro bei 6% auszuzahlen. Nun kannst Du obige Formel nach r umstellen und für K₀ = 47840 und für T=15 Jahre einsetzen. Du erhältst dann für r = 4925.80

Es geht auch direkt mit der Formel r = r₁ * (q^t₁ -1)*q^t₂ / ((q^t₂ -1)*q^t₁) = r₁ * (q^t₁ -1)*q^t₂-t₁/ (q^t₂ -1)