f ( t ) = a * e^{-k*t}
f ( 2000 ) = a * e^{-k*2000} = 2.7 * 10^9
f ( 2008 ) = a * e^{-k*2008} = 2 * 10^6
a * e^{-k*2000} = 2.7 * 10^9
a * e^{-k*2008} = 2 * 10^6 | beide Gleichungen teilen, das a entfällt
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e^{-k*2000} / e^{-k*2008} = 2.7 * 10^9 / ( 2 * 10^6 )
e^{[-k*2000]-[-k*2008]} = 1.35 * 10^3
e^{[-k*2000]+[k*2008]} = 1.35 * 10^3
e^{[8*k} = 1.35 * 10^3 | ln ( )
8 * k = ln ( 1.35 * 10^3 )
k = 0.901
a * e^{-k*2000} = 2.7 * 10^9
a * e^{-0.901*2000} = 2.7 * 10^9
a = 1.07157 * 10^792
f ( t ) = 1.07157 * 10^792 * e^{-0.901*t}
Dies wäre die Formel in der geforderten Form.
Handlichere Zahlen bekommt man wenn man
t minus 2000 einsetzt
f ( 0 ) = a * e^{-k*0} = 2.7 * 10^9
f ( 8 ) = a * e^{-k*8} = 2 * 10^6