Parameter im linearen Gleichungsystem

Question

Bestimmen Sie mit dem Gauß-Algorithmus alle Werte k ∈ R, sodass das gegebene Gleichungssystem in
den Variablen x, y, z y ∈ R:
x −3z = −3
2x +k y −z = −2
x +2y +kz = 1
(i) eine eindeutige Lösung besitzt,
(ii) keine Lösung besitzt,
(iii) mehr als eine Lösung besitzt

Answer 1

x + 2·y + k·z = 1
2·x + k·y - z = -2

2*II - k*I

x·(4 - k) - z·(k^2 + 2) = -k - 4
x - 3·z = -3

(4 - k)*II - I

z·(k^2 + 3·k - 10) = 4·k - 8
z·(k - 2)·(k + 5) = 4·(k - 2)

Für k = 2 unendlich viele Lösungen
Für k = -5 keine Lösung
Für alle anderen k genau eine Lösung.

Comments

kannst du bitte mir erläutern warum 

Für k = 2 unendlich viele Lösungen
Für k = -5 keine Lösung
Für alle anderen k genau eine Lösung. ??

Answer 2

Hi

Wir formen die letzte Zeile um und erhalten

k^2 + 3k - 10 = 4k - 8
(k+5)(k-2) = 4(k-2)

Für k = 2 bekommen wir in der letzten Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix eine Nullzeile, d.h. für k=2 gilt 0*z = 0. Diese Gleichung ist für alle z erfüllt, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen.

Für k = -5 folgt aus der letzten Zeile 0*z = -28. Es gibt kein z, dass diese Gleichung erfüllt, d.h. das LGS ist nicht lösbar.
 
In den übrigen Fällen gibt es eine eindeutige Lösung, denn dann ist der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix und gleich der Anzahl der Variablen.

Vgl. https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/loesbarkeitskriterien-fuer-inhomogene-lineare

Grüße