Stetigkeit f(x)=x*sgn(x^2-1)

Question

Ich habe ein paar Fragen zu einem Beispiel (siehe Bild) an dem ich gerade sitze. Die erste wäre zu den Definitionsbereichen der sgn - Funktion. Warum ist bei der 1 im Definitionsbereich -1 und +1 noch dabei? Bei diesen Werten ist der Funktionswert doch schon 0 oder? Und das gleiche ist bei -1 da sind -1 und 1 noch dabei aber dort ist der funktionswert ja auch schon 0 und nicht mehr negativ.

Noch eine Frage habe ich zu den Grenzwerten bei Punkt 3. Ich verstehe nicht ganz wie diese Zustande kommen. Zum Beispiel beim linksseitigen Grenzwert von (-1). Setze ich (-1) in die Funktion ein bekomm ich bei sgn (0) heraus, also ist der wert der sgn Funktion ja auch 0. dann wärs ja f(-1)=(-1)*0=0. Bin etwas verwirrt.

Comments

Zur ersten Frage:

Warum ist bei der 1 im Definitionsbereich -1 und +1 noch dabei?

Es müsste nicht "ist" sondern "sind" heißen und die beiden sind nicht dabei, da die genannten Intervalle jeweils offen sind.

---

Zu deiner zweiten Frage:

Du musst die Grenzwerte durch Einsetzen von \(x=-1\) in \((x\cdot 1)\) bzw. in \((x\cdot (-1))\) bestimmen, nicht durch Einsetzen in \(f(x)\)!

---

Aber ist das dann nicht f(x)?

f(x)=x*sgn(1) = x*1 und

f(x)=x*sgn(-1)=x*(-1) dann kommen auch die Grenzwerte von oben heraus.

x⋅(−1))

AbeA

---

mE hast du das schon richtig gemacht. Du hast gezeigt, dass f(x) in x=-1 und x=1 unstetig und sonst stetig ist.

Die Unstetigkeit der blauen (und grünen) Funktion siehst du hier

~plot~x*(x^2-1)/abs(x^2 -1); x^2-1; (x^2-1)/abs(x^2 -1)~plot~

Anmerkung: Vertikale Striche in den Graphen musst du wegdenken. 

---

Lu, gemeint habe ich dies hier:

"Noch eine Frage habe ich zu den Grenzwerten bei Punkt 3. Ich verstehe nicht ganz wie diese Zustande kommen. Zum Beispiel beim linksseitigen Grenzwert von (-1). Setze ich (-1) in die Funktion ein bekomm ich bei sgn (0) heraus, also ist der wert der sgn Funktion ja auch 0. dann wärs ja f(-1)=(-1)*0=0. Bin etwas verwirrt."

Und zwar insbesondere das blau markierte, welches eben falsch ist. Die im Bild zu sehende, mutmaßliche Mitschrift ist richtig.

Answer 1

.

nur mal zur Stelle x= -1 und deren Umgebung

  1.) -> für x= -1 existiert ein Funktionswert : f(-1) = 0

 2.) ->  links von x=-1 , also für alle x< -1  gilt
->  f(x) = x ... also gilt : f(x) < -1 für alle x<-1

dh : wenn x ->  -1 von links ->
dann wird sich f dem linksseitigen Grenzwert g_L = -1 nähern

3.) -> rechts von x=-1 , zB für alle -1<x<0  gilt : f(x)= -x  ..

also ist 1>f(x) >0 für -1<x<0

dh, wenn x sich von rechts her der Stelle x=-1 nähert,

bekommst du den rechtseitigen GW g_r=+1

dh:

f(x) hat zwar einen g_l , einen g_r  und einen Funktionswert bei x=-1

aber alle drei Werte sind voneinander verschieden =>

=> f ist an der Stelle x=-1 sowas von unstetig

("endliche Sprungstellen und ein "Einsiedlerpunkt (-1/0) " bei x=-1)

Tipp: mach dir doch auch mal noch eine Zeichnung im Koordinatensystem ..

und überlege dir analog, wie f unstetig sein wird an der Stelle x=+1

ok?

.

Answer 2

"Noch eine Frage habe ich zu den Grenzwerten bei Punkt 3. Ich verstehe nicht ganz wie diese Zustande kommen. Zum Beispiel beim linksseitigen Grenzwert von (-1). Setze ich (-1) in die Funktion ein bekomm ich bei sgn (0) heraus, also ist der wert der sgn Funktion ja auch 0. dann wärs ja f(-1)=(-1)*0=0. Bin etwas verwirrt." 

Beim linksseitigen Grenzwert, musst du x_h = - 1 -h einsetzen, wobei h> 0. Und dann h gegen 0 gehen lassen.

Du darfst nicht den definierten Wert f(-1) = 0 hinschreiben.

lim_(x-> (- 1)- ) x*sgn(x^2-1)

= lim_(h-> 0+ ) (-1-h)*sgn((-1-h)^2-1)

= lim_(h-> 0+ ) (-1-h)*sgn(1+2h+h^2-1)

= lim_(h-> 0+ ) (-1-h)*sgn(2h+h^2)

= lim_(h-> 0+ ) (-1-h)*1

=(-1)*1 = -1 ≠ f(-1)

Wenn du nur feststellen sollst, ob die Funktion als Ganzes stetig ist oder nicht, bist du aber schon fertig.

Sonst musst du noch die andere kritische Stelle untersuchen. Rechnung analog. 

Comments

Hallo

Wo kommt denn jetzt das mit dem h her? Das Beispiel ist so auch fertig, ist ja vom Prof. vorgerechnet. Aber ich komm nicht wirklich drauf wie diese 2 Limes Zustande kommen. Also woher lim = x*1 und lim x*(-1). Ich glaube ich kapier nicht ganz warum 1 und (-1). Ich hänge hier mal ein Foto von meiner Überlegeng an mit der das gleiche wie beim Professor rauskommt.

---

Urbain: Du musst das h auch nicht hinschreiben, aber dazudenken, damit du zu den einseitigen Grenzwerten kommst.

Es läuft allerdings hier darauf hinaus, dass du einfach -1 resp. 1 einsetzt in die Funktionsgleichung zum direkt angrenzenden Intervall.