Im Induktionsbeweis die Fakultät umformen: 2n!

Question

Hi, 
ich muss die Fakultät 2n! umformen. Ich versuche auf (n+1)! zu kommen. Vielleicht hat jemand von euch einen Hinweis für mich parat. 

Danke euch und Gruß

Comments

Hinweis: Aufgabenstellung reinschreiben. Das ist zu sehr aus dem Kontext gerissen.

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Tipp: \((n+1)! = (n+1) \cdot n! \).

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Danke für deine Antwort Yakyu. Leider komme ich aber trotzdem nicht ganz weiter. Du darfst, falls du möchtest, deine "Idee"  bzw. Lösung posten. :)

Meine Idee:
Dürfte ich 2n! einfach durch (n+1) * n! ersetzen? Weil wenn 2ⁿ = 2 * 2^n-1 <= 2n! gilt, ist (n+1) * n! immer größer-gleich als 2n!. Somit wäre eindeutig  2ⁿ = 2 * 2^n-1 <= 2n! <= (n+1) * n!. 
Hoffe ich habe es verständlich erklärt

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Jo das ist ja im Grunde der Beweis, also warum so unsicher :) du machst ja nur die logische Schlussfolgerung, da \( 2 \leq n+1 \quad \forall n \in \mathbb{N} \) offensichtlich gilt.

Tipp: Schreib lieber 2*n! sonst könnte man das mit (2n)! verwechseln.

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Alles klar, danke dir :)

Answer 1

So wie du es dort geschrieben hast ist es doch sicher nicht gleich.

2n! ≠ (n+1)!

Da braucht man nur für n mal 2 einsetzen. Also es wäre schon hilfreich die Aufgabe zu kennen. Dann können wir da auch besser weiterhelfen.

Comments

Sorry für die späte Antwort und die ungenaue Fragestellung.

! steht für Fakultät
<= steht für "kleiner gleich"

Ich soll 2^n-1 <= n! für alle natürlichen Zahlen zeigen. Ich dachte ich zeige es mithilfe der Induktion. 

Induktionsannahme: für eine natürliche Zahl gilt 2^n-1 <= n! 

Zu zeigen: 2ⁿ <= (n+1)!

Ansatz: 
2ⁿ 
= 2 * 2^n-1 
(Induktionsannahme verwendet)
<= 2 * n!

Jetzt komme ich leider nicht mehr weiter. Weiß jemand wie ich 2 * n! umformen könnte?

Bitte nur die Antwort auf die Frage posten und nicht noch mehr von der Lösung. (Sofern möglich.)

LG

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Induktionsanfang: n = 1

1! ≥ 2^{1 - 1} --> stimmt

Induktionsschritt: n --> n + 1

(n + 1)! ≥ 2^{(n + 1) - 1}

n!·(n + 1) ≥ 2^n

n!·(n + 1) ≥ 2^{n - 1}·2

Es gilt: n! ≥ 2^{n - 1} und n + 1 ≥ 2