Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunktes. Funktion f(x) = 1/2·x^3 - 1/8·x^4.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung: \( f(x)=\frac{1}{2} x^{3}-\frac{1}{8} x^{4} \)

a) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunktes.

b) Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten und berechnen Sie Koordinaten der Wendepunkte sowie die Gleichungen der Wendetangenten.

Answer 1

f(x) = 0.5x³ - 0.125 x⁴

f'(x) = 1.5 x^2 - 0.5x^3

a) f'(x) = 0 = 1.5 x^2 - 0.5x^3 = x^2 (1.5 - 0.5x)

x1,2 = 0, x3=3

y1,2 = 0, y3 = 3.375 = 27/8

Extrempunkt (3| 3.375)

Art?

f ''(x) = 3x - 1.5x^2 

f ''(3) = 9 - 13.5 = -4.5

Relatives Maximum.

b) Wendepunkt…

f ''(x) = 3x - 1.5x^2 = 0 = x(3-1.5x)

x1 = 0   , x2 = 2

y1 = 0, y2 = 2

Wendepunkte

W1(0|0) und W2(2/2)

Wendetangenten

t1: y=0, da horizontale Tangente in W1.

t2:

Steigung. f'(2) = 2

y=2x+q durch W2

2 = 4 + q

-2=q

t2: y = 2x - 2

Kontrolle: Schaubild. Punkte und Tangenten noch selbst anschreiben.