Extrempunkte und Wendepunkte

Question

Kann jemand die Extrempunkte und Wendepunkte  zu dieser Gleichung vor rechnen (für Klausurvorbereitung) ?

f_t(x)=x³2tx²+t²x

vielen Dank schonmal

Comments

Hi,

fehlt da ein Vorzeichen? f_t(x)=x³2tx²+t²xbei

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x³ .... und dann ?

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ja stimmt

f_t(x)=x³-2tx²+t²x

Answer 1

f_t(x)=x³-2tx²+t²x

ft´(x)=3x²-4tx+t²

ft´(x)=0

3x²-4tx+t²=0  Mitternachts- oder pq-Formel!

x=t  ∨ x=1/3 t

ft´´(x)=6x-4t

ft´´(t)=2t

1. Fall: t>0    Minimum    TP (t|0)

2. Fall: t<0    Maximum    HP (t|0)

3. Fall: t=0    Sattelpunkt SP (0|0)

ft´´(1/3 t) = -2t

1. Fall: t<0   Minimum   TP (1/3t|4/27 t³)

2. Fall: t>0   Maximum   HP (1/3t | 4/27t³)

3. Fall: t=0    SattelpunktSP (0|0)

Wendepunkte:

ft´´(x)=0

6x-4t=0

x=2/3t

WP (2/3t | 2/27 t³)

Ohne Gewähr!

LG

Answer 2

f_t(x)=x³-2tx²+t²x

f ( x ) = x^3 - 2tx^2 + t^2*x

f ´( x ) = 3 * x^2 - 4 * t * x + t ^2
f ´´ ( x ) = 6 * x - 4 * t

Stellen mit waagerechter Tangente
3 * x^2 - 4 * t * x + t^2  = 0  | : 3
x^2 - 4/3 * t * x + t^2/3 = 0  | pq-Formel oder quadr.Ergänzung
x^2 - 4/3 * t * x + (2/3*t)^2 = - t^2/3 + 4/9 * t^2
( x - 2/3 * t )^2 = -3*t^2/9 + 4/9 * t^2  = | √
x - 2/3 * t = ±√ ( 1/9 * t^2 )
x = ± 1/3 * t  + 2/3 * t
x = t
x = 1/3 * t
von f ( t ) und f ( 1/3 * t ) den Funktionswert bestimmen

Hoch- oder Tiefpunkt
f ´´ ( x ) = 6 * x - 4 * t
f ´´ ( t ) = 6 * t - 4 * t = 2 * t
f ´´ ( 1/3 * t  ) = 6 * 1/3 * t - 4 * t = - 2 * t

Ob die Extrempunkte Hoch- oder Tiefpunkte sind hängt von t ab.
Bei t > 0
f ´´ ( t ) = 6 * t - 4 * t = 2 * t  = positiv = Tiefpunkt

Wendepunkt
f ´´ ( x ) = 6 * x - 4 * t = 0
6 * x - 4 * t = 0
6 * x = 4 * t
x = 2/3 * t
f ( 2/3 * t ) berechnen
W ( 2/3 * t  |  f ( 2/3*t ) )

t = 1 und t = -1

~plot~ x^3 - 2*(1)*x^2 + 1^2*x ; x^3 - 2*(-1)*x^2 + (-1)^2*x ~plot~