ft(x)=x3-2tx2+t2x
f ( x ) = x^3 - 2tx^2 + t^2*x
f ´( x ) = 3 * x^2 - 4 * t * x + t ^2
f ´´ ( x ) = 6 * x - 4 * t
Stellen mit waagerechter Tangente
3 * x^2 - 4 * t * x + t^2 = 0 | : 3
x^2 - 4/3 * t * x + t^2/3 = 0 | pq-Formel oder quadr.Ergänzung
x^2 - 4/3 * t * x + (2/3*t)^2 = - t^2/3 + 4/9 * t^2
( x - 2/3 * t )^2 = -3*t^2/9 + 4/9 * t^2 = | √
x - 2/3 * t = ±√ ( 1/9 * t^2 )
x = ± 1/3 * t + 2/3 * t
x = t
x = 1/3 * t
von f ( t ) und f ( 1/3 * t ) den Funktionswert bestimmen
Hoch- oder Tiefpunkt
f ´´ ( x ) = 6 * x - 4 * t
f ´´ ( t ) = 6 * t - 4 * t = 2 * t
f ´´ ( 1/3 * t ) = 6 * 1/3 * t - 4 * t = - 2 * t
Ob die Extrempunkte Hoch- oder Tiefpunkte sind hängt von t ab.
Bei t > 0
f ´´ ( t ) = 6 * t - 4 * t = 2 * t = positiv = Tiefpunkt
Wendepunkt
f ´´ ( x ) = 6 * x - 4 * t = 0
6 * x - 4 * t = 0
6 * x = 4 * t
x = 2/3 * t
f ( 2/3 * t ) berechnen
W ( 2/3 * t | f ( 2/3*t ) )
t = 1 und t = -1
~plot~ x^3 - 2*(1)*x^2 + 1^2*x ; x^3 - 2*(-1)*x^2 + (-1)^2*x ~plot~