Kurvendiskussion der Exponentialfunktion f(x)=(x²-1)·e^{-x}

Question

Ich brauche für die Funktion: f(x)=(x²-1)*e^{-x}

den Definitionsbereich, Symmetrie des Graphen, Verhalten für x→±∞, Schnitt mit den Koordinatenachsen, relative Extrema, Wendepunkte und die Wertemenge.

Answer 1

Hi,

 

Definitionsbereich:

Keine Problemstellen -> D=ℝ

 

Symmetrie:

Keine erkennbare Symmetrie

 

Verhalten für x→±∞:

lim_x->∞ f(x)=0  

lim_x->-∞ f(x)=∞

 

Schnitt mit den Koordinatenachsen:

y-Achsenschnittpunkt:

f(0)=(-1)e⁰=-1

-> S(0|-1)

 

x-Achsenabschnitt:

0=(x²-1)e^-x

Produkt wird dann 0, wenn es min. ein Faktor ist.

x²-1=0

x₁=-1 und x₂=1

e-Funktion selbst wird nie 0.

N₁(-1|0)  und N₂(1|0)

 

relative Extrema:

f'(x)=0 und f''(x)≠0

f'(x)=-(x²-2x-1)e^-x=0

-> x₃=1-√(2)=-0,41

x₄=1+√(2)=2,41

 

Überprüfen mit f''(x) (ob Extremum und welches), dann f(x)

T(-0,41|-1,25)

H(2,41|0,43)

 

Wendepunkte:

f''(x)=0 und f'''(x)≠0

f''(x)=(x²-4x+1)e^-x=0

x₅=2-√(3)=0,27

x₆=2+√(3)=3,73

 

Wendepunkte mit f'''(x) überprüfen und dann Stellen in f(x):

W₁(0,27|-0,71) und W₂(3,73|0,31)

 

Wertemenge:

"Was kann y sein":

Tiefpunkt war ja bei y=-1,25

Wir streben für x->-∞, nach ∞

Also: W=x€[-1,25;∞)

 

 

 

Grüße

 

Comments

Kannst du mir das mit der Wertemenge noch mal genauer erklären?

was bedeutet W=x€[-1,25;∞) ?

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Wie gesagt, die Wertemenge ist nichts anderes als die Antwort auf die Frage "Was kann x alles sein".

Das Minimum ist offensichtlich y=-1. Folglich ist der kleinste Wert, der erreichbar ist, -1. Da die Funktion nach oben unbeschränkt ist, haben wir hier ∞.

Die Wertemenge ist also: W=x€[-1,25;∞)

 

Alles klar?

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Joa ich glaub schon.  

Noch mal eine sache ;)

Also wenn ich die Funktion und die 1. Ableitung in einen in einen Graphen zeichne, dann schneiden die sich 2 mal. Wie kann ich die jetzt berechnen? mir wurde gesagt Gleichsetzten und dann nach x auflösen. aber ich kriege da ein anderes Ergebnis raus.

 

Dank dir jetzt schon mal für all deine hilfe

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Ja, das ist richtig. Wenn Du die Schnittpunkte von f(x) und f'(x) suchst, so musst Du diese gleichsetzen.

 

Willst Du es selbst nochmals probieren? Ansonsten kümmere ich mich gleich auch gern nochmals drum. Doch wurde ich gerade zum Essen abkommandiert ;).

 

Bis später

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So, vom Essen zurück.

f(x)=f'(x)

(x^2-1)e^{-x}=(2x-x^2+1)*e^{-x}

Soweit einverstanden?

Die e-Funktion wird nie 0. Dividieren wir also damit:

x^2-1=2x-x^2+1   |-x^2+1

2x-2x^2+2=0        |:(-2)

x^2-x-1=0

 

Nun noch die pq-Formel bemühen:

x_1,2=1/2±✓(5)/2

 

Schon hast Du Deine beiden Schnittstellen. Gewünschst Du den genauen Punkt zu bestimmen, mit den Stellen einfach noch in f(x) oder f'(x) und den y-Wert bestimmen ;).

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So also entweder ich hab da jetzt nen Fehler, oder ich hab da nicht richtig verstanden. wenn ich die pq - Formel anwende komme ich immer noch nicht auf meine schnittpunkte. denn als ich den graphen gezeichnet habe, kommen da ganz andere Punkte raus.

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Auf welche Schnittpunkte kommst Du denn? ;)

Zeig mal Deine pq-Formel?!

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x²-x-1

1/2 + √(0,5/2)² +1

so sieht die aus

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Wie kommts, dass Du vor der Wurzel 1/2 stehen hast, unter dem Quadrat aber 0,5/2?

Da sollte jeweils das gleiche stehen ;).

 

1/2 ± √((1/2)² +1)

 

Und damit kommst Du auch auf das Ergebnis von mir ;).

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Gerne ;)         .

Answer 2

1. Funktion:


2. Definitionsbereich:
 D = Q; //ist für alle reellen Zahlen definiert

3. Symmetrie:
Weder punkt- noch achsensymmetrisch.
f(a-x) = f(a+x); //Nachweis der Achsensymmetrie nicht erfüllt
f(a+x)-b = -f(a-x)+b; //Nachweis der Achsensymmetrie nicht erfüllt

4. Verhalten für x→±∞:
lim f(x->+∞) = 0; //e^x steigt schneller als x^2
lim f(x->-∞) = +∞;

5. Schnitt mit den Koordinatenachsen:
*Schnitt mit y-Achse:
f(x=0) = -1; Y1(0|-1)
*Schnitt mit x-Achse:
f(x) = 0:
x_1;2 = ±1; X1(1|0), X2(-1|0);

6. Relative Extrema:
f'(x) = (2x-x^2+1)*e^{-x};
f''(x) = (x^2-4x+1)*e^{-x};
Hinreichende Bedingung für Extrema:
f'(x) = 0;
x_3;4 = 1±sqrt(2);
Notwendige Bedingung für Extrema:
f''(x₃) = -0,25 < 0 --> Maximum, EP1(1+sqrt(2)|0,432);
f''(x₄) = 4,28 > 0 --> Minimum, EP2(1-sqrt(2)|-1,25);

7. Wendepunkte:
f'''(x) = (-x^2+6x-5)*e^{-x};
Hinreichende Bedingung:
f''(x) = 0;
x_5;6 = 2±sqrt(3);
Notwendige Bedingung:
f'''(x₅) = 0,083 ≠ 0;
f'''(x₆) = -2,65 ≠ 0;

8.  Wertemenge:
W = [f''(x₄); +∞[;
 

Comments

Danke für eure Antworten, ihr habt mir echt geholfen

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Könnt ihr mir das mit den Extremstellen noch mal genauer erklären?

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Um eine Extremstelle einer Funktion zu bestimmen bestimmt man die erste Ableitung dieser Funktion. Man erhält eine neue Funktion, die man nun 0 setzt. Anschließend bestimmt man den/die x-Wert/e, bei dem/nen die neue Funktion 0 ist.

Die Ableitung einer Funktion ergibt eine neue Funktion. Diese Funktion beschreibt den Verlauf der Steigung der ursprünglichen Funktion. Da die Steigung einer Funktion an ihren Extremstellen 0 ist, kann man durch das Bilden der Ableitung, das Finden der Extremstellen auf das Problem der Nullstellenbestimmung zurückführen.

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Ok danke :)

 

noch mal eine Frage

Wie kann ich jetzt die zwei schnittpunkte berechnen die ich rauskriege, wenn ich f(x) zeichne und f´(x)

ich weiß, dass ich die gleichungen gleich setzen muss aber ich verstehe nicht wie das geht

 
Und noch eine 2. Sache. Eine Grade x=a mit a> -0,62 schneidet die Graphn von f und f´in den Punkten P und Q nun soll ich a so bestimmen, das PQ maximal wird. hast du eine ahnung wie das geht?

 

Danke für deine hilfe

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Schnittpunkt mit der x-Achse bedeutet, dass der Wert der Funktion an diesen speziellen x-Werten 0 wird.

f(x) = 0

Dann löst Du die Gleichung auf und erhältst einen x-Wert. Hier ist das x_1;2 = ±1.

Die x-Werte setzt Du wiederum in die Funktion ein. f(1) = (1^2 - 1) / e^1 = 0. Das Geleiche für f(-1) = 0.

Jetzt kennst Du sowohl die x-Werte, als auch die y-Werte der Nullpunkte. y-Wert war allerdings schon vorher klar.

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Bei der Bestimmung der Extremwerte gehst Du genauso vor. Du setzt die Ableitung 0.

f'(x) = 0. Erhältst so die x-Werte  x_3;4 = 1±sqrt(2). Dann prüfst Du ob es Maximum oder Minimum ist (s.o.)

Dann setzt Du die x-Werte in die ursprüngliche Funktion also f(x) ein und erhätst so die y-Werte der Extrempunkte. Das ist wichtig Du musst die x-Werte in f(x) einsetzen nicht in f'(x).

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Deine Wertemenge ist falsch!

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Jap. Das kann ich nur leider nicht mehr ausbessern.