Analytische Geometrie Parametergleichung: Werbelogo auf dem Dach des Hauses.

Question

ich hätte eine frage bezüglich dem Aufgaben Teil a) auf dem Blatt was ich geposted habe

Und zwar soll man ja zu erst die Koordinaten bestimmen. Das habe ich gemacht

A(10/8/6)  B(0/8/6)   c(0/4/9)    D (10/4/9)

So im nächsten Satz soll ich die Parametergleichung daovn aufstellen, aber wie geht das? Also ich kenne es durchs Umwandeln von Normalform etc, aber nicht, wie man 4 Koordinaten in eine Gleichung bringt ehrlich gesagt. Oder ich stehe gerade komplett aufn Schlauch keine Ahnung.

Aufgabe

Auf dem Dach des Hauses der Werbeagentur "Modern Art" wird das Werbelogo der Firma als dreieckiges Schild \( P_{1} P_{2} P_{3} \) montiert. Es gilt: \( 1 \mathrm{LE}=1 \,\mathrm{m} \)

a) Der Punkt \( A(10|8| 6) \) ist ein Eckpunkt der rechten Dachfläche. Geben Sie die Koordinaten der anderen drei Eckpunkte \( B \), \( D \) und \( D \) dieser Dachfläche an. Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Ebene, in der die Dachfläche ABCD liegt. Zeigen Sie, dass diese Ebene durch die Gleichung \( 3 y+4 z=48 \) beschrieben werden kann. Berechnen Sie den Neigungswinkel dieser Dachfläche gegenüber der Ebene ABEF.

P.S. Berechne ich den Neigungswinkel beim letzten Satz, dann mit dem Skalarprodukt oder wie?

Answer 1

Du wirst mir sicherlich zustimmen, dass die 4 Punkte in einer Ebene (die dem "rechten" Dach entspricht) liegen. Um eine Ebene eindeutig beschreiben zu können, brauch man lediglich 3 Punkte. Lass uns also die Punkte A, B und C im Folgenden verwenden.

Die allgemeine Parametergleichung lautet:

$$\vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{b} + s \cdot \vec{c} \ .$$

Es kann natürlich sein, dass ihr die Vektoren a, b und c und die Parameter r und s anders bezeichnet, aber im Grunde solltet ihr die Gleichung haben. Vektor a ist der Stützvektor, also irgendein Punkt in deiner Ebene. Nehmen wir einfach den Punkt A. Die Vektoren b und c sind sogenannte Spannvektoren. Dabei zeigt der Vektor b von Punkt A auf Punkt B und der Vektor c von Punkt A auf Punkt C. Wenn du jetzt weißt, wie man einen Vektor berechnet, der von einen Punkt auf einen anderen zeigt (einfach subtrahieren), dann hast du es auch schon:

$$\vec{x} = \begin{pmatrix}10 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0 - 10\\ 8 -8 \\ 6 - 6\end{pmatrix} +  s \cdot \begin{pmatrix}0 - 10\\ 4 -8 \\ 9 - 6\end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix}10 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}- 10\\ 0 \\ 0\end{pmatrix} +  s \cdot \begin{pmatrix} - 10\\ -4 \\ 3\end{pmatrix} \ .$$

Zum zweiten Teil deiner Frage: Wo der Neigungswinkel in deiner Skizze ist, hast du sicherlich erkannt. Du kannst einen Winkel zwischen zwei Vektoren mit dem Skalarprodukt bestimmen, richtig. Z.B. der Winkel zwischen den Vektoren BE und BC. Diese musst du natürlich zuerst noch durch Subtraktion wie oben bestimmen.

Wenn du deine Ergebnisse überprüfen lassen möchtest, kannst du sie gern hier reinschreiben.

Comments

Oh mein Gott wie leicht das wirkt, wenn du das machst :D Danke endlich hats klick gemacht. Ich werde mal weiterrechnen vielleicht komme ich ja drauf

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Also ich habe mal den Neigungswinkel ausgerechnet. Zuerst habe ich AD und AF genommen (absichtlich was anderes als du, damit der Lerneffekt vielleicht höher ist :D ) . Da bekam ich für AD = - 10 / -4 / 0  und für AF  0 / 8 / 0 raus.

Davon habe ich halt die Beträge ausgerechnet da bekam ich für a = 10,77 raus und für b bekam ich 8 rauzs und dann es normal in die formel a * b / | a | * | b | eingesetzt und ich bekam 68,2 raus. Ich glaub das passt oder?

Aber noch eine Frage hätte ich. Da steht noch: Zeigen Sie, dass diese Ebene durch die Gleichung 3y + 4z = 48 beschrieben werden kann.

Muss ich das dann machen indem ich von der Parametergleichung einfach r und s ausrechne?

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Also das Dreieck der Punkte FAD ist ziemlich maßstabsgetreu und der Winkel ist offensichtlich kleiner als 45°.

$$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \vec{AF} = \vec{F} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix} \ .$$

Irgendwo hast du dich da also schon verrechnet. Vermutlich hast du beim ersten Vektor aus 10-10 irgendwie =10 gemacht und für den Vektor AF hast A-F statt F-A gerechnet.

Beträge:

$$| \vec{AD} | = 5 \quad \quad | \vec{AF}| =  8 \ .$$

So, jetzt die Formel:

$$cos( \alpha ) = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{AF}}{|\vec{AD}| \cdot |\vec{AF}|} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} \ . $$

Jetzt noch die Umkehrfunktion des Cosinus:

$$\alpha = arccos \left( \frac{4}{5} \right) \approx 36,87° \ . $$

Und zu deiner zweiten Frage: Du musst entweder unsere Paramtergleichung in die Koordinatengleichung umwandeln oder umgekehrt, dann hast du das gezeigt. Würde das Verfahren nehmen, das einfacher ist. ;)

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Ja du hast recht ich sehs auch... habe mich bei der -10 vertan.

Aber dennoch blieb es hängen sehr geil, danke :D  Langsame Schritte mache ich nach vorne :D

Gott du bist ein segen :D Ich werds gleich mal probieren :D

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Eine Frage hätte ich noch, sry :D Ich will von der Parameterform in die Koordinatenform wechseln.

So mach also:

x = 10 - 10r -10s

x = 8 -4 s

x = 6 + 3s

Nur bleibt mir am Ende ja das r, dass ich gar nicht weg kriege...

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Also habe mal die Parameterform genommen, die du oben auch geschrieben hast.

Dann halt die Normalform gemacht mit Kreuzprodukt etc und bekam raus:

En = (x - ( 10 / 8 / 6 )  * (  0  / 30  / 40 )     

Und dann halt normal ausgerechnet da bekam ich:

Ek : 30 x2 + 40 x3  = 480

Das ist aber wahrscheinlich falsch oder? ^^  Weil das irgendwie jeweils immer eine *10 zu viel ist ^^ so müsste man ja 3y + 4z = 48 rausbekommen

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Ich habe mir den Rest nicht durchgelesen, aber du kannst deine Gleichung ohne Probleme durch 10 teilen und dennoch bleibt das *dieselbe* Ebenengleichung. Sollte also richtig sein. ;)

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Yeah dann bin ich happy nice hast mir unglaublich geholfen danke danke :D ich sollte dich bezahlen :D Ich probiere mal die restlichen Aufgaben der Abiturprüfung vom vorherigen Jahr zu lösen, was Vektoren etc betrifft. :D

Darf ich mich melden falls ich Fragen habe? :D Weil du anscheinend der ienzige bist, der das checkt :D

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Freut mich, dass ich dir helfen konnte. :P

Ich glaube so einige verstehen das hier auch. Allerdings fallen die Antworten zu diesem Thema immer relativ umfangreich aus und deswegen ist vermutlich nicht jeder motiviert genug dazu eine Antwort zu schreiben. Zudem findet das Thema nach der Schule kaum Anwendung. Es ist, glaube ich, lediglich dazu da, eine anschauliche Einführung in die lineare Algebra zu geben.

Wenn mal wieder was unklar ist, einfach hier eine Frage stellen. Ich helfe wo ich kann. ;)

Viel Erfolg beim Abitur.

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Ja ich kann echt froh sein, dass du dir die Zeit nimmst, weil ich nicht mal im Internet was brauchbares finde... Das meiste ist halt auf Grundkurs-Niveau ausgerichtet und damit kann ich halt nur grob was anfangen.

Dann frag ich mal ganz peinlich noch mal :D bei C)

Da ist die Aufgabe, dass ein Metallträger 3m lang ist und der wird halt auf dem Dach im Punkt P (5 / 7,6 / 6,3 ) befestigt und parallel zu AB ausgerichtet.

Also spinne ich da oder ist das jetzt ganz blind so einfach, dass ich einfach so schreibe?

g : (5 / 7,6 / 6,3 ) + r ( - 10 / 0 / 0 ) ? 

Weil AB ist ja wie wir vorhin rausbekommen haben ( -10 / 0 / 0 ). Dann brauche ich das doch nur als Richtungsvektor nehmen für den Startpunkt oder nicht?

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Äh ich meine  g : (5 / 7,6 / 6,3 ) + r ( - 10 / 0 / 0 ) ?   weil es ja 3m lang ist. Oder ist mein Gedanke falsch? 

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Du stellst eine Geradengleichung auf, was wir hier gar nicht brauchen. Allerdings geht deine Geradengleichung durch die Punkte P₁ und P₂ und somit liegt der Metallträger auch auf deiner Geraden. Würde die Aufgabe sowas verlangen, wäre die Gleichung also richtig. ;)

Wenn du allerdings weißt, dass

$$P_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 7.6 \\ 6.3 \end{pmatrix}$$

gilt und dass der Metallträger 3m lang und parallel zu AB ist, dann musst du doch nur die x-Koordinate von P₁ um 3 ändern, also

$$P_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 7.6 \\ 6.3 \end{pmatrix} \ .$$

Das war's auch schon. Bei weiteren Fragen ruhig fragen, dir muss nichts peinlich sein. xD

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Ahhhh ja irgendwie so wusste ich das es geht aber war mir nicht mehr sicher :D Aber deins scheint doch logischer :D Ja hab mit dir ja jetzt schon eine ganze abitur aufgabe gerechnet :D

Gut dann nutze ich direkt mal meine Chance :D

Bei dieser Aufgabe a) verwirrt mich etwas die g-2 dort. Muss ich das x dann einfach mit -2 ersetzen?

Und bei b) Möchten die, dass ich die Koordinatenform aufstelle, was ja kein Problem ist, aber ich habe nur ein t und normalerweise brauche ich doch r und s oder s und t etc. also halt zwei Vektoren dafür statt eins oder nicht?

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Also "g" ist der Name der Geraden. Der Index "a" bedeutet, dass "g" nicht einfach nur *eine* Gerade, sondern eine Geradenschar ist. Denn je nachdem was du für "a" einsetzt (und das kann jede mögliche reelle Zahl sein), erhältst du eine andere Gerade, z.B.:

$$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}7 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \ , \quad g_{-5,5}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-6 \\ -3 \\ 5,5 \end{pmatrix}$$

usw.

Die Aufgabe b) hast du glaube ich ein wenig falsch verstanden. Also die Geradenschar bildet eine Ebene. Das bedeutet, wenn du für das "a" jede mögliche Zahl einsetzt und das zeichnen würdest, würden die einzelnen Geraden alle nebeneinander liegen, sodass sich eine Ebene ergeben würde. Ich hoffe das kannst du dir so vorstellen. :P

Um die Ebenengleichung aufstellen zu können gilt wie immer, dass du zwei Vektoren in dieser Ebene brauchst, die (ganz wichtig!) linear unabhängig sind.

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Du bist ein Segen, ganz ehrlich :D

So komme ich zu meiner absolut letzten Frage :D, weil ich irgendwann ja auch mal Stochastik lernen muss und auch noch Analysis :D Nur jetzt so als Beispiel noch eine Aufgabe vom Abitur. Ich wills nicht rechnen ich will nur so durchgehen die Schritte, die ich machen müsste :D Bzw. meine Gedanken :D


Also bei a)

Ganz leicht die Geradengleichung halt aufstellen... P0 + r * (P1)  -> mit Q natürlich auch. So um die Geschwindigkeit herauszufinden-> Da im Text steht das es um 12:21 bei... ist und eine Minute später bei... würde ich die beiden Sachen einfach voneinander abziehen gemäß dem B-a um AB rauszubekommen richtig? Dann würde ich halt ein Vektor kriegen und den in Wurzel setzen und eine Zahl herausbekommen und das wäre die Strecke für eine Minute oder? Das gleiche mit Q

Und halt wie gefordert den Abstand der beiden berechnen von P und Q oder?

Für b) Abstand von U1 und K berechnen indem ich P0 und K halt in PK nehme mit Wurzel und so dann weiß ich ja den Abstand oder?

Winkel berechnen mit Skalarprodukt von Normalform in Koordinatenform und dann gemütlich einsetzen

C) Bei C weiß ich ehrlich gesagt nicht weiter mit dem Abstand zu einen allgemeien(?) Punkt von X.

Bei D) noch nichts überlegt :D

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Echt? Du musst lineare Algebra, Analysis und Stochastik fürs Abitur können? Dachte es sei üblich, dass man vorab zwei der drei Themen gemeinsam mit dem Lehrer auswählt und dann nur diese lernen muss.

Die Geradengleichung würde aber

$$u_1: \vec{x} = \vec{P_0} + r \cdot ( \vec{P_1} - \vec{P_0} )$$

lauten, denn der Richtungsvektor deiner Geradengleichung muss ja auf der Geraden durch P₀ und P₁ liegen und den Vektor, der von P₀ auf P₁ zeigt, erhältst du halt indem du P₁-P₀ rechnest.

Was die Geschwindigkeiten betrifft, schlägst du vor P₁-P₀ zu rechnen, wenn ich dich richtig verstehe? Das ist soweit richtig. Natürlich musst du anschließend noch den Betrag des Vektors bilden, denn uns interessiert ja die Länge der Strecke zwischen der beiden Punkte. Da die Punkte 1 min auseinander liegen, hast du automatisch die richtige Einheit m/min der Geschwindigkeit (wenn du die Länge des Vektors mal 100 rechnest wegen 1 LE = 100 m). Also im Prinzip hast du mit deiner Vorgehensweise recht, sofern ich alles richtig verstehe. Bedenk jedoch, dass der Betrag des Vektors nicht nur mit der Wurzel, sondern mit der Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Koordinaten berechnet wird.

Bei Aufgabe b) geht es um U₂ und nicht um U₁. Zudem steht im Aufgabentext, dass du die Entfernung vom Punkt wo *U₂ die Meeresoberfläche erreicht* zu K berechnen sollst. Also müsstest du mit der Geradengleichung zuerst berechnen an welchem Punkt dieses U-Boot überhaupt auftaucht (auftauchen meint wahscheinlich, dass z=0 gelten soll). Wenn du beide Punkte hast dann einfach Differenz der beiden Punkte bilden und den Betrag dieses Vektors berechnen. Wenn es um den Betrag geht, dann redest du immer von der "Wurzel etc. Eine Wurzel kommt auch vor, jedoch hoffe ich, dass du weißt wie man den Betrag genau berechnest, das ist nämlich relativ wichtig und wird höchstwahrscheinlich vorkommen in der Abiturprüfung.

In Aufgabe c) ist mit dem allgemeinen Punkt X irgendein Punkt auf der Geraden u₁ gemeint. Diese Gerade hat ja den Parameter "r", für den du jede reelle Zahl einsetzen kannst. Wenn du dies tust, dann erhältst du ja einen Punkt x an dem sich das U-Boot aufhält. Du sollst jetzt allgemein den Abstand des U-Boots, wenn sich dies irgendwo auf der Gerade im Punkt X aufhält, zu dieser Station angeben. Die Aufgabe ist relativ kompliziert. Wenn du dazu Informationen brauchst, dann würde ich nach etwas wie "Abstand Punkt Gerade" googlen.

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Na also wir kriegen jeweils 2 Blätter zu diesen 3 Themen und jeweils 1 muss man bearbeiten :-/

Oah Cool Danke :) Dann werde ich mir das heute noch mal alles zusammenfassend angucken und dann mit Analysis anfangen :) DAnke hast mir unendlich geholfen ich hoffe ich hab dann morgen auch noch alles im Kopf :D