Was sind die Dimensionen der Quotientenvektorräume?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten in \( V=\operatorname{Mat}_{n}(K), n \geq 1 \) die drei Untervektorräume \( U_{1}, U_{2}, U_{3} \subset V \) der Skalarmatrizen, der Diagonalmatrizen bzw. der oberen Dreiecksmatrizen.

Was sind die Dimensionen der Quotientenvektorräume

\( U_{3} / U_{1}, \quad U_{3} / U_{2}, \quad V / U_{1}, \quad V / U_{2} \quad \text { und } \quad V / U_{3} ? \)

Ansatz/Problem:

Wie genau bringe ich die Skalarmatrizen, Diagonalmatrizen und obere Dreiecksmatrizen mit ein? U1 U2 und U3 sind ja Untetvektrorräume der quadratischen Matrix V. Ich glaube, dass die Aufgabe an sich sehr simpel ist, ich jedoch an der Aufgabenstellung scheitere. Kann mir das jemand erläutern und vielleicht sogar Lösungstipps und -ansätze verraten?

Comments

Also wenn ich die Aufgabe richtig verstehe:

dim(V) = n*n

dim(U1) = dim(U2) = n

und dim(U3) = ∑_iⁿi = (n*n + n)/2

Angenommen das stimmte, frage ich mich ob

dim(V/U1) = dim(V/U2) = dim(V) - dim(U1) = n*(n-1)

dim(V/U3) = n*n - (n*n + n)/2 = (n*n - n)/2

dim(U1/U2) = dim(U3/U2) = (n*n - n)/2 -n = (n*n - n)/2 = dim(V/U3) Müsste dann auf gelten.

Bin nicht sicher ob und wie ich die Dimensionsformel anwenden kann. Ergibt auf dem Papier allerdings Sinn.

Wenn bitte einer sagen könnte "Richtig"?

Lieben Gruß!

Answer 1

Wir haben \(U_1\subset U_2\subset U_3\).

Wenn man sich die unabhängig freiwählbaren Einträge der betreffenden

Matrizen anschaut (Anzahl der Freiheitsgrade), erkennt man sofort

\( \dim(V)=n^2, \; \dim(U_1)=1, \; \dim(U_2)=n, \; \dim(U_3)=\frac{n(n+1)}{2}\).

Sind \(U,W\) endlich-dimensionale Vektorräume und gilt \(U\subset W\),

so sagt eine Dimensionsformel \(\dim(W/U)=\dim(W)-\dim(U)\).

Somit erhalten wir

\(\dim(U_3/U_1)=\frac{n(n+1)}{2}-1,\; \dim(U_3/U_2)=\frac{n(n+1)}{2}-n=\frac{n(n-1)}{2}, \) usw. usw.