Obere und untere Grenzen (Schranken) von Teilmengen von R

Question

Seien C und D beliebige nichtleere Teilmengen von R und a, b € R. Wir erweitern die übliche Addition und Multiplikation zu Operationen auf Teilmengen wie folgt:

$$ \begin{array} { r l } { C + D } & { = \{ r \in \mathbb { R } | \exists x \in C \exists y \in D \quad r = x + y \} } \\ { a + C } & { = \{ a \} + C = \{ r \in \mathbb { R } | \exists x \in C } & { r = a + x \} } \\ { C \cdot D } & { = \{ r \in \mathbb { R } | \exists x \in C \exists y \in D \quad r = x \cdot y \} } \\ { a \cdot C } & { = \{ a \} \cdot C = \{ r \in \mathbb { R } | \exists x \in C } & { r = a \cdot x \} } \\ { - C } & { = \{ - 1 \} \cdot C = \{ r \in \mathbb { R } | \exists x \in C } & { r = - x \} } \end{array} $$

Begründen Sie anhand der Definitionen die folgenden Aussagen:

a) Ist a > 0, b beliebig und besitzt C eine obere Grenze, dann besitzt auch a • (b + C) eine obere Grenze und es gilt: sup(a • (b + C)) = a • (b + sup(C)). Hinweis: Man kann diese Aussage in zwei Teile zerlegen und in zwei Schritten beweisen.

b) Ist C von oben beschränkt (d. h. es hat eine obere Schranke), dann ist (-C) von unten beschränkt und es gilt inf(-C) = -sup(C).

Comments

Zu a) habe ich das:

Wir wissen: C hat obere Grenze und damit ein Supremum.
Wir können definieren: c:=sup(C)
Wir möchten zeigen: a*(b+c) ist Supremum von a*(b+C)

1. x element von C, b element der reellen Zahlen, r=b+x element von b + C; daraus folgt b+x <= b+c, da x<=c
2. a>0, x element vonb+C, r=a*x element von a*(b+C);
daraus folgt a*x <= a*(b+c), da x<= (b+c)

damit ist gezeigt, dass a*(b+c)=a*(b+sup(C)) eine obere Schranke von
a*(b+C) ist.

Zu zeiegen ist: a*(b+c) ist kleinste obere Schranke von a*(b+C)
Widerspruchsbeweis:

Angenommen es existiert "a*(b+t)" < a*(b+c) und "a*(b+t) wäre damit Supremum:

Wir definieren uns ein Epsilon (schreib ich hier mal als E )

E:=c-t>0, c':=c-E
c' ist keine obere Schranke von C
daraus folgt es existiert ein x element von C: x>c'
daraus folgt x>c'=c-E=t

daraus folgt der Widerspruch
daraus folgt: Da x>t, ist a*(b+c) kleinste obere Schranke
und es gilt: sup(a*(b+C))=a*(b+sup(C))
Damit ist die Aussage bewiesen.

Ist es so richtig??

Es wäre nett wenn jemand noch zu b) was hat

---

kann mir jemand sagen ob dieser widerspruchbeweis sinn macht bzw. ob ich aufhören kann mir den kopf daran zu zerbrechen bzw. ob ich die tatsache dass ich nicht zum beweisen geschaffen bin doch noch einmal anzweifeln sollte

mathematigers verifizierung ist zwar so halb da, aber je länger ich mir den kopf über den widerspruchsbeweis zerbreche, desto mehr mag ich die option dass mathematiger einfach vielleicht nicht richtig...hingeguckt hat

---

Wie gesagt, dein Beweis ist richtig, aber was ich dir sagen wollte ist, du schreibst:

Angenommen es existiert "a*(b+t)" < a*(b+c) und "a*(b+t) wäre damit Supremum:

Hier reicht wenn du sagst "...und a*(b+t) wäre auch oberer Schranke". Du brauchst im Rest deines Beweises nirgends, dass a*(b+t) Supremum ist.

Du willst ja zeigen, dass es keine kleinere Schranke gibt als a*(b+t), also nimmst du an es gäbe eine.

Dafür muss die kleinere nicht auch noch die kleinste aller kleineren also das Supremum sein.

 

Kamst du mitder b) klar?

Answer 1

Deine a) sieht ganz gut aus. Nur an der Stelle

"...und "a*(b+t) wäre damit Supremum:..."

würde ich "Supremum" durch "obere Schranke" ersetzen, deine Annahme ist ja, es gibt eine kleinere obere Schranke!

 

zu b)

ist S obere Schranke von C, dann ist S≥x für alle x aus C

sei jetzt y in -C beliebig, das heißt es gibt ein r in C mit -r=y. Dann ist aber S≥r und damit -S ≤ -r=y für alle y in -C.

Damit ist -S untere Schranke von -C.

Das mit dem Supremum sollte quasi analog gehen, erst untere Schranke zeigen und dann falls nicht die größte solche, dann auch Widerspruch zu kleinste obere Schranke... das bekommst du hin!