Partikuläre Lösung einer Differentialgleichung

Question

Kann mir jemand bei folgender Rechnung den Ansatz für die partikuläre Lösung sagen?

Den homogenen Teil habe ich.

\( y^{(4)}-5 y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-8 y=\frac{x+1}{e^{x}}+3 x^{2} e^{2 x} \)

Answer 1

falls es noch interessiert:

Ansatz für die partikuläre Lösung:

für 3 e^{2x} *x^2:

y_p1 =x^3(A *e^{2x} +B *e^{2x} *x +C* e^{2x} *x^2)

für: e^{-x}(x+1) :

y_p2= (D/e^x +(E*x)/e^x)*x

Y_p= y_1 +y_2

Answer 2

Hi,

mithilfe des rechten Seite Ansatzes:

y_(p) = (1/60x^5 - 1/36x^4 + 1/27x^3) e^{2x} + (-1/54x^2 - 2/27x)e^{-x}


Grüße

Comments

Wie kommst du auf das ?

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Ah ja, -1 und 2 sind Nullstellen des Polynoms, dann ändert sich mein Ansatz noch minimal.

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Ansatz siehe bei Marvin. Resonanzfall liegt vor. In beiden Fällen. Für e^{2x} sogar in dreifacher Ausführung ;).

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Die nullstellen 2 sind drei mal und -1 ist ein mal

Answer 3

Ich bin mir nicht ganz sicher,aber du  musst jeweils zwei mal einen Polynomansatz mit einem Ansatz für e^{ax}  multiplizieren und diese dann addieren:

Also:
y_p= (c₀+c₁x)*ce^{-x}+(c₂+c₃x+c₄x^2)*C*e^{2x}

Angenommen -1 und 2 sind keine Nullstellen des char. Polynoms.(Hab es nicht nachgerechnet)

Falls -1 und 2 doch Nullstellen sind, dann musst du die Ansätze für die Exponentialfunktion noch ändern.

Also da ich so einer Funktion ncoh nicht begegnet bin, solltest du einfach mal ausprobieren, ob du damit auf eine Lösung kommst.

Comments

-1 und 2 sind aber nullstellen

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Wenn das Ergebnis von Unknown stimmt, dann nimmt man statt:
y_p= (c₀+c₁x)*ce^-x+(c₂+c₃x+c₄x²)*C*e^2x

Als Ansatz:

y_p= (c₀+c₁x)*c*x*e^-x+(c₂+c₃x+c₄x²)*C*x^3*e^2x

2 wird dann wohl 3-fache Nullstelle sein und -1 einfache Nullstelle