1. Die von 1 erzeugte Untergruppe von \((K,+)\), also \(F:=<1>\)
ist endlich. Sei \(p\) ihre Ordnung \(p=|F|\).
Wäre \(p=r\cdot s\) mit \(1\lt r,s\lt p\), dann hätte man
\88r\cdot 1)(s\sdot 1)=p\cdot 1=0\), \(K\) hätte also Nullteiler und wäre
damit kein Körper. \(p\) muss also eine Primzahl sein.
Da damit \(F_p:=F\) ein Integritätsbereich ist und endliche
Integritätsbereiche Körper sind, folgt die Behauptung.
2. Gäbe es einen Ringhomomorphismus \(f:F_p\rightarrow F_q\) mit
Primzahlen \(p\neq q\), dann wäre \(Kern(f)\) ein Ideal von \(F_p\).
Körper beitzen nur ein echtes Ideal, nämlich \((0)\). Damit wäre \(f\)
injektiv, d.h. \(f(F_p,+)\) eine Untergruppe von \((F_q,+)\),
nach Lagrange wäre dann aber \(p\) ein Teiler von \(q\),
was unsinnig ist.
