Für jeden Eigenwert einer symmetrischen Matrix sind geometrische und algebraische Multiplizitäten gleich. (Aussagen)

Question

Wir müssen entscheiden, ob diese Aussagen stimmen und begründen:

(i) Für jeden Eigenwert einer symmetrischen Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) sind geometrische und algebraische Multiplizitäten gleich.

(ii) Die Abbildung \( \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto\left(x_{2}, x_{1}\right) \) ist eine Rotation.

(iii) Die Abbildung \( \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto\left(-x_{2}, x_{1}\right) \) ist orthogonal.

Ansatz/Problem:

(i) hätte ich gesagt, muss nicht sein, ausser es gibt eine spezielle Eigenschaft bei symmetrischen Matrizen die ich nicht kenne

(ii) hätte ich gesagt nein, wenn ich es mir bildlich vorstelle sehe ich mehr eine Spiegelung

(iii) hätte ich gesagt ja, da die die Rechtwinkligkeit durch den Richtungsumkehr nicht beeinflusst wird meiner Meinung nach.

Stimmen meine Überlegungen und falls ja, gibt es eine bessere Begründung jeweils?

Answer 1

(i): Die Aussage aus der Aufgabe ist korrekt, und deine Vermutung somit falsch. Reelle symmetrische Matrizen sind immer diagonalisierbar.

(ii): Es handelt sich nicht um eine Rotation, was man bereits an der Determinante der Abbildung erkennt. Das es sich um eine Spiegelung handelt hast du richtig erkannt.

(iii): Ja, wobei deine Begründung irgendwie nicht wirklich einleuchtend ist. Wie wäre es wenn du einfach die Eigenschaft einer orthogonalen Matrix aus eurer Definition überprüft.

Gruß

Comments

Danke für die Antwort, die kriterien für die Überprüfung weiss ich, aber was genau wäre in diesem Fall die zu überprüfende Matrix, bin gerade etwas verwirrt durch die Notation in der Aufgabenstellung

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Die Spalten der Matrix sind einfach die Bilder der Einheitsvekoren. Zum Beispiel bei (ii):

$$ A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad A \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ \Rightarrow A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\1 &  0 \end{pmatrix} $$

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D.h. die Matrix bei (iii) wäre

 0   1
-1   0 

?

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Das kannst du ja ganz leicht durch anwenden der Matrix auf einen Vektor überprüfen.

Du hast die Spalten und Zeilen vertauscht.