kleinsten Eigenwert \lambda_{e} und seine algebraische und geometrische Vielfachheit

Question

Gegeben Sei die Matrix \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -6 \\ 0 & 3 & 4\end{array}\right) \)
Geben Sie den kleinsten Eigenwert \( \lambda_{e} \) und seine algebraische und geometrische Vielfachheit \( \mu_{\text {alg }}\left(\lambda_{e}\right) \) bzw. \( \mu_{\text {geo }}\left(\lambda_{e}\right) \) an.
\( \lambda_{e}= \)
\( \mu_{\text {alg }}\left(\lambda_{e}\right)= \)
\( \mu_{g e o}\left(\lambda_{e}\right)= \)

Answer 1

|A - λ Id|=0

\((\lambda-1) (\lambda-1) (\lambda+ 2) = 0\)

==>μ_alg(-2)=1

\(\small\left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-2&\left(\begin{array}{rrr}3&0&0\\0&-3&-6\\0&3&6\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&1&\left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&-6&-6\\0&3&3\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>μ_geo(-2)=1