Parameter wählen damit eine Halbgruppe/Gruppe entsteht

Question

Seien \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \). Durch

\( \circ: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},(x, y) \longmapsto \alpha \cdot x+\beta \cdot y \)

ist auf \( \mathbb{R} \) eine innere Verknüpfung definiert. Wie hat man \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) zu wählen, damit

a) \( (\mathbb{R}, \circ) \) eine Halbgruppe ist?

b) \( (\mathbb{R}, \circ) \) eine Gruppe ist?

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Answer 1

um assoziativ zu sein, muss die Verknüpfung die Bedingungen \( \alpha^2 = \alpha \) und \( \beta^2 = \beta \) beziehungsweise \( \alpha, \beta \in \{0, 1\} \) erfüllen.

Um eine Gruppenverknüpfung zu sein, muss \( \alpha = 1 \) und \( \beta = 1 \) gewählt werden, damit \( e = 0 \) sowohl links- als auch rechtsneutral und damit eindeutig ist. In diesem Fall kommutiert die Verknüpfung sogar.

Das inverse Element zu einem Element \( x \) ergibt sich dann durch \( -x \).

MfG

Mister