Orthogonale Matrix finden, welche diagonalisiert

Question

Aufgabe:

Finde für jede der folgenden symmetrischen Matrizen eine orthogonale Matrix, welche diese diagonalisiert.

a) \( \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right] \),

b) \( \left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right] \).

Ansatz/Problem:

Ich schaffe es jeweils nur eine Matrix zu finden, welche die vorgegebene Matrix diagonalisiert, sodass die Eigenwerte dann in der Diagonale stehen, jedoch ist diese nicht orthogonal. Wie mache ich das?

Answer 1

z.B. bei (a) gibt es die Eigenwerte 1 und 3
und Basen der Eigenräume sind
(1;1)   bzw.  (1;-1)
Die Spalten von   M
1   1
-1  1   
sind orthogonal (Skalarprodukt ist 0)
aber die Basisvektoren haben nicht die Länge 1.
Also normieren
N = (1 / wurzel(2))* M ist die orthogonale Transformtionsmatrix

N * gegebene Matrix * N ^-1 =  Diagonalmatrix mit 1 und 3.

Comments

Ahaa, ich habe vergessen zu normieren, danke vielmals!!