Orthogonale Abbildung finden

Question

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gibt es eine orthogonale Abbildung g: ℝ⁴→ℝ⁴, die den Vektor (1;0;0;0) auf dem Vektor (1;1;0;0) abbildet?

Wie gehe ich vor?
Ich weiß, dass zwei Vektoren zu einander orthogonal sind, wenn das Skalarprodukt gleich 0 ist.

Comments

Schau dir erstmal an, was eine orthogonale Abbildung ist. Was in deinem letzten Satz steht, hilft da nicht weiter.

Answer 1

Klar geht das. Du musst nur dafür sorgen, dass orthogonale Vektoren

auf orthogonale abgebildet werden und die Bilder der

4 kanonischen Einheitsvektoren alle die Länge 1 haben, etwa so:

g ( 1;0;0;0) =  1/wurzel(2) * (1;1;0;0)

g( 0;1; 0;0) =  1/wurzel(2) * (-1;1;0;0)

g( 0;0;1; 0) =   (0;0;1;0)

g( 0;0;0;1) =  (0;0;0;1)

Comments

Nein, das geht nicht. (1,0,0,0) soll auf den Vektor (1,1,0,0) abgebildet werden und nicht auf irgendein Vielfaches davon.

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Dann geht es nicht, denn  das Skalarprodukt von (1;0;0;0) mit sich selbst ist 1,

und das des Bildes mit sich selbst ist 2.

Skalarprodukt der Originale muss aber gleich dem

der Bilder sein.

Oder soll man ggf. in dem Bildraum ein anderes Skalraprod. definieren ?

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Wenn nichts anderes angegeben ist, würde ich immer vom Standardskalarprodukt ausgehen.

Wenn man Urbildraum und Bildraum mit unterschiedlichen Skalarprodukten ausstattet, sollte es funktionieren, aber ich glaube, das ist wohl nicht Sinn der Aufgabe.

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Bedingung für Orthogonalität ist ja:
<g(u),g(v)> = <u, v>

Warum nimmt man denn das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst? Den Hintergrund des Schrittes kann ich noch nicht ganz nachvollziehen. Kann mir das einer noch eben erklären? :)

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mathef hat für \(u\) und \(v\) den Vektor (1,0,0,0) eingesetzt.

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Genau, das Skalarprodukt des Vektors (1,0,0,0) mit sich selbst ist 1 und das des Bildes 2, laut mathef.
Was sagen mir die zwei verschiedenen Skalarprodukte?
Und was ist mit orthogonaler Abbildung gemeint?

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orthogonal wäre die Abbildung wenn immer das Skalarprodukt erhalten bleibt,

denn das heißt ja <g(u),g(v)> = <u, v>

also auch in dem speziellen Fall des Skalarproduktes eines

Vektors mit sich selbst.

Das ist hier nicht gleich, also ginbt es eine solche orthogonale Abb. nicht.