es sei 0<a<b und und zeigen muss ich 0< wurzel a - wurzel b < wurzel (b-a)

Question

Hallo brauche mal eure Hilfe... ich hoffe ihr könnt mir helfen komm nicht weiter

danke im voraus.

Es sei 0 < a <b und k ∈ℕ \{1}.

Zeige 0 <^k √b - ^k √a <^k √b-a

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Die Tags klingen so als solltet ihr das mit vollständiger Induktion zeigen. Kannst du den Induktionsanfang machen?

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√b -√ a ≤ √b-a

b - 2 *√b√a + a ≤ b -a

-2 * √b√a ≤ -2a

0 < a< b ⇒ √a ≤ √b ⇒ a ≤ √a√b ⇒ -2a > -2√a√b

ich weiß nicht ob des stimmt.. und weiß nicht was ich mit dem k machen muss

Answer 1

k = 2   ,  b= 5  ,  a=4  !

√5    -  √4    <   √ 5-4 -----> ( 2,23  - 2  )   <   1   , stimmt !

Comments

ja des ist der induktionsanfang...

Answer 2

Hi,

Für die Aufgabe ist keine Induktion nötig.

Die erste Ungleichung solltest du alleine hinbekommen.

zu der zweiten: Setze \( u^k = a \) und \(v^k = b-a \). Dann gilt: \( b = u^k+v^k\)

$$ \begin{aligned} \sqrt[k]{b} - \sqrt[k]{a} &< \sqrt[k]{b-a} \\ \sqrt[k]{u^k+v^k} &< u+v \\ u^k+v^k &< (u+v)^k  \end{aligned} $$

Die letzte Ungleichung gilt wegen den Voraussetzungen und des Binomischen Lehrsatzes.

Gruß

Comments

welche erste Ungleichung?

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Diese: \( 0 < \sqrt[k]{b} -  \sqrt [k]{a} \)

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da muss ich doch zeigen das ^k√a < ^k √b also a^k < b^k ist

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Genau die 1. Ungleichung die du aufgeschrieben hast musst du zeigen, nicht unbedingt die 2. (ich geh mal davon aus, dass ihr das schon vorher irgendwie gemacht habt.)

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naja so richtig nicht , aber ich probier es mal

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@yakyu ich schaff die erste Gleichung irgendwie nicht... kannst du mir sie aufschreiben bitte

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Zeigs durch einen Widerspruch, nehme an

$$ \sqrt[k]{a} > \sqrt[k]{b} $$

Wenn dir diese Ungleichung schon Probleme bereitet müsste dir die zweite Teilaufgabe unmachbar erscheinen.

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ja so in der art kam sie mir auch vor.

kannst du mit mir die gleich lösen

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Was du zur Lösung benötigst steht ja schon in meiner Antwort oben. Wenn du deinen vollständigen Lösungsweg gerne hier reinschreiben möchtest oder weitere genaue Fragen hast schau ich gerne drüber.

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okay ich hab hier mal eine Lösung  wir nehmen ja an das  0 < a < b

dann gilt ⇒ b - a > 0 und a + b >0

⇒(b-a)*(b+a) > 0

⇒(b² -a² )> 0 ⇒ b² >a²

wenn 0< a < b und b-a >0 , dann gilt es auch für √a >0 und √b >0 , und dann auch für √b + √a > 0, somit

√b - √a = (b-a)÷ (√b + √a) >0 , dh √b >√a und das 0< √b -√a

ich hab weiß jetzt nicht was ich mit dem k machen soll??

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Du sollst das für alle k-ten Wurzel zeigen nicht nur für die Quadratwurzel. Mein Vorschlag hast du auch überhaupt nicht berücksichtigt. Bevor man eine Aufgabe lösen möchte sollte man sich erstmal klar machen was überhaupt gefragt ist. Für den Beweis reicht grad mal eine Zeile:

$$\text{Annahme: } \sqrt[k]{a} > \sqrt[k]{b} \Rightarrow (\sqrt[k]{a})^k > (\sqrt[k]{b})^k \Rightarrow a > b \text{ Widerspruch, da } a< b $$