Sinus hyperbolicus, alle Lösungen der Gleichung x bestimmen

Question

Es sei a eine feste, reelle Zahl. Bestimme alle Lösungen x der Gleichung sinh(x)=a

Tipp: nach y:= e^x auflösen, dann erst nach x.

Wenn ich nach e^x auflöse dann erhalte ich:

e^x=e^-x+2c

soll ich dann e^x durch y ersetzen? Oder die Formel nach x umformen?

Answer 1

sinh(x) = a

e^x/2 - e^{-x}/2 = a 

e^x - e^{-x} = 2a 

z - 1/z = 2a 

z^2 - 1 = 2az

z^2 - 2az - 1 = 0

z = a ± √(a^2 + 1)

x = LN(a ± √(a^2 + 1)) ; Das Minus macht in diesem Fall kein Sinn, weil das Argument vom LN dann negativ wird.

x = LN(a + √(a^2 + 1))

Comments

Wie kommt man auf z² - 2az - 1 = 0 auf diesen Schritt: z = a ± √(a² + 1) --> Warum darf man das eine a vorne ausklammern?

und warum macht man dann ln von dem ganzen ergebnis um x zu erhalten?

x = LN(a ± √(a² + 1))

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Okay der schritt mit ln ist klar

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Wie kommt man auf z² - 2az - 1 = 0 auf diesen Schritt: z = a ± √(a² + 1) --> Warum darf man das eine a vorne ausklammern?

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z² - 2az - 1 = 0

Das ist eine quadratische Gleichung. Wie kann man quadratische Gleichungen lösen?

Tipp: Es gibt da eine Formel.

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Ich weiß dass die binomische Formel genutzt wird, aber normalerweise in der Form von a^2-2ab+b^2

wie kann ich nun das a+- rausnehmen?

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x^2 + px + q = 0 kann über die pq-Formel gelöst werden.