Bijektivität von Sinus hyperbolicus ohne Ableitung zeigen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass der Sinus hyperbolicus bijektiv von R nach R abbildet.

Problem/Ansatz:

Bisher habe ich nur die Definition des Sinus hyperbolicus gefunden: $$\frac {e^x-e^{-x}}{2}$$

Wichtig ist, dass wir keine Ableitungen benutzen dürfen, um z.B. die Monotonie zu zeigen.

Comments

Löse nach x auf

Answer 1

y = SINH(x)

y = 0.5·e^x - 0.5·e^(-x)

e^x = z

y = 0.5·z - 0.5/z

y·z = 0.5·z^2 - 0.5

2·y·z = z^2 - 1

z^2 - 2·y·z - 1 = 0

z = y ± √(y^2 + 1)

x = LN(y + √(y^2 + 1)) - Warum entfällt hier wohl die negative Wurzel?

Answer 2

x=0, f(x)=0 x>0 e^x>e-x d,h, f(x) positiv,  und steigend, da e^x schnell wächst, e^-x schnell fällt.

x<0 f(x)negativ, e-x fallt schneller als e^x fällt . also wieder steigend, insgesamt immer steigend.

lul