An welchen Punkten ist folgende Funktion nicht differenzierbar

Question

An welchen Punkten sind die folgenden Funktionen nicht differenzierbar?

a) f(x) = |x-2|

b) f(x) = |x^2-1|

c) f(x) = 0 für <=0 und x^3 für x>0

Könnte mir vielleicht jemand Anhand von Beispiel a oder b oder auch in Worten erklären wie sowas zu lösen ist? Würde die Bsp gerne selber rechnen.

Answer 1

a) f(x)=x-2, wenn x>=2 und f(x)=2-x, wenn x<2.

Für x>2 und x<2, weiß man dass die Funktion differenziarbar ist als Polynom.

Um zu prüfen ob die Funktion auch differenziarbar ist für x=2 muss man prüfen ob die Funktion stetig ist bei diesem Punkt und wenn sie ist prüft man ob:

$$\lim_{x \to 2^-} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$$

Comments

Und diese 2 Grenzwerte müssen dann noch mit dem Funktionswert in diesem Punkt übereinstimmen oder? Also das war bei Stetigkeit bei uns immer die 3te Bedingung.

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Wenn die Gleichung gilt, dann ist der Grenzwert gleich f'(2).

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Die Stetigkeit muss man übrigens nicht noch gesondert untersuchen. Es reicht, zu überprüfen, ob der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert.

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Wenn die Funktion beim Punkt x=2 nicht stetig ist, ist sie auch bei diesem Punkt nicht differenzierbar.

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Das ist mir schon klar. Du hattest allerdings gesagt, dass man erst Stetigkeit überprüfen muss, und dann (falls die Funktion stetig ist), ob der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert.

Da habe ich gesagt, dass der erste Schritt nicht unbedingt nötig ist.

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Bekommt man dann bei der a) als Grenzwert 0 heraus? Wenn ich in deine Formel einsetze habe ich ja (2-2)/(2-2)=0/0 mit der Regel von Hospital komm ich dann auf (1-1)/1=0/1=0.

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Nein.

$$\lim_{2^-} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{2-x}{x-2} \to -1$$

und

$$\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{x-2}{x-2} \to 1$$

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Ah jetzt habe ich es verstanden. Du hast im mittleren Schritt nur etwas abgekürzt. Habs jetzt nochmal ausführlich hingeschrieben. Danke.



Somit ist die funktion im Punkt x=0 nicht differenzierbar.

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Irgendwas haut mit dem Verständnis noch nicht ganz hin. Jetzt wo ich die a) und c) probiere. Und zwar:

 

Answer 2

Dann will ich meinen Senf auch noch dazugeben

a) f(x) = |x-2|

~plot~ abs( x -2) ~plot~

für x-2 > 0 gilt
f ( x ) = x - 2
f ´( x ) = 1

für x- 2 < 0 gilt
f ( x ) = - ( x - 2 )
f ( x ) = - x + 2
f ´( x ) = -1

Die Steigung macht bei x = 2 einen Sprung.
f  ist in x = 2 nicht diffbar.

Comments

b) f(x) = |x²-1|

An den Nullstellen einer abs () - Funktion wechselt
die Steigung. Nullstellen ;
x^2 - 1 = 0
x^2 = 1
x = 1
x = -1
An diesen Stellen ist f nicht diffbar

~plot~ abs(x^2 -1) ~plot~

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c) f(x) = 0 für <=0 und x³ für x>0

x^3 ist diffbar
Die Steigung von x^3  in x = 0 ist 0
und stimmt damit mit dem linken Teil überein.