Aufgabe:
Berechnen Sie jeweils \( \int \limits_{U} f(\vec{x}) \mathrm{d} \vec{x} \):
a) \( U=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \leq y \leq 2 x\right. \) und \( \left.4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 100\right\}, \quad f(x, y)=x \)
b) \( U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x \leq y \leq x \sqrt{3}, z \geq 0, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4\right\}, \quad f(x, y, z)=x \mid-z ; \)
Ansatz/Problem:
Beide werden über Koordinatentransformation gelöst. Bei der a müssten es Polarkoordinaten und bei der b Kugelkoordinaten sein.
Allerdings schaff ich es nicht, die Grenzen zu bestimmen.
Zu a:
Aus 4<=x^2+y^2<=100 geht ja hervor, dass es sich um einen Kreis handelt, mit dem Innenradius von 2 und Außenradius von 10.
Also lautet mein erstes Integral mit der oberen Grenze 10 und unteren Grenze 2:
∫ r^2 * cos(phi) dr dphi
Wie lauten denn jetzt meine Grenzen für Phi?
Zu b:
Hier eigentlich das selbe Problem. Das Ganze sollte eine Kugel mit Radius 2 sein. Koordinaten hab ich in Kugelkoordinaten umgewandelt. Nur komm ich auch hier nicht auf die Grenzen von Phi und Eta
Meine Funktion sieht so aus:
(r*cos(phi)*sin(eta) - r*cos(eta)) * r^2*sin(eta) dr dphi deta
