Hesse-Matrix: Wie entscheide ich, ob in Punkt (0,0) ein Extremum vorliegt? f(x,y) = x^2 e^y (y-1) + xy

Question

Aufgabe:

Man bestimme für die Funktion \( f(x, y)=x^{2} e^{y}(y-1)+x y \)

(a) den Gradienten und die Hesse-Matrix im Punkt \( (x, y) \).

(b) Man entscheide, ob im Punkt \( (0,0) \) ein Extremum vorliegt.

Ansatz/Problem:

Also ich habe den Gradienten ausgerechnet. das ist:
Grad(f_(x,y)) = (2xe⁴(y-1) + y; x(x*e⁴ + 1))
Und dann es noch einmal nach x und y abgeleitet und ich hab die Hese-Matrix bekommen:
(2e⁴(y-1)  2e⁴y+1)
H =  (2e⁴(x+1)     0      )

Also was mache ich jetzt fur (b)?

Comments

Wie kommst du auf \(e^4\)? In der Aufgabe steht doch \(e^y\).

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oh mein got. danke. das hab ich ubersehen. danke

Answer 1

Jedenfalls ist der Gradient für (0;0) der Nullvektor, also ist (0;0) ein kritischer Punkt.

Jetzt kann die Definitheit der Hesse-Matrix in diesem Punkt sagen, ob dort ein Extrempunkt vorliegt.

In deinem Fall ist das bei (o;o)

H =   (   -2e^4    1
                2e^4    0  )

und det( H - x*E) = x^2 + 2e^4 x - 2e^4 hat eine positive und eine negative Nullstelle, d.h. Eigenwerte mit unterschiedlichen Vorzeichen und ist also indefinit.

Das heißt, bei (0;0) ist kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt.

Comments

Also wenn die Matrix indefinit ist und die Nullstellen positiv und negativ sind, gibt es keinen Extrempunkt.

Was ist, wenn die Matrix negativ definit ist und die Nullstellen positiv und negativ sind? Gibt es dann einen Extrempunkt??

Answer 2

f ( x ; y ) := x ² ( y - 1 ) exp ( y ) + x y   ( 1 )

f_x ( x ; y ) = 2 x ( y - 1 ) exp ( y ) + y = 0  ( 2 )

f_y ( x ; y ) = x ² y exp ( y ) + x =   ( 3a )

= x [ 1 + x y exp ( y ) ] = 0    ( 3b )

Eine LMNtare Lösung in ( 3b ) ist x= 0 ; dann folgt in ( 2 ) y = 0

f_xx ( x ; y ) = 2 ( y - 1 ) exp ( y ) ====> f_xx ( 0 ; 0 ) = ( - 2 )    ( 4a )

f_yx ( x ; y ) = 1 + 2 x y exp ( y ) ====> f_yx ( 0 ; 0 ) = 1  ( 4b )

f_yy ( x ; y ) = x ² ( y + 1 ) exp ( y ) ====> f_yy ( 0 ; 0 ) = 0  ( 4c )

Übrigensd; Ich fand f_yx geht leichter zu rechnen als f_xy Die Hessematrix lautet

-2 1

1  0

WIE löst man ein 2 X 2 eigenwertproblem? In den ganzen Büchern steht das als so umständlich erklärt; die Säkulardeterminante lautet

x ² - p x + q = 0   ( 5a )

Vieta das geschmähte Stiefkind

p = E1 + E2 = Sp ( H ) = ( - 2 )  ( 5b )

q = E1 E2 = det ( H ) = ( - 1 )   ( 5c )

Aber ( 5c ) genügt uns ja vollauf; so bald die Determinante negativ ist, haben beide Eigenwerte entgegen gesetztes Vorzeichen.

Selbst Wolfram weiß hier nicht mehr weiter; trotzdem lässt sich diese transzendentale e-Funktion zu Gunsten einer algebraischen Bedingung eliminieren, wenn wir uns mit einer notwendigen Bedingung für Extremum zufrieden geben.

( 2 ) ===> exp ( y ) = y / 2 x ( 1 - y )   ( 6a )

( 3b ) ===> exp ( y ) =- 1 / x y    ( 6b )

Seht ihr; es ist wie immer in der Matematik. Dem verwegenen Schlamper ist das Glück hold; ich hab halt das schöne Händchen . Es kommt nämlich zu gar keiner Kurve; x kürzt sich raus, und wir landen bei der quadratischen Bedingung

y ² - 2 y + 2 = 0   ( 7 )

welch selbige gar keine reellen Wurzeln hat. ( Von MIR bekämst du nur die halbe Punktzahl. )

Und noch etwas lernen wir daraus, und das fällt mir heut durchaus nicht zum ersten Mal auf. Wolfram ersetzt noch lang net mein Genie ...

Comments

also um erlich zu sein benutze ich nicht wolfram alpha weil ich nicht bescheuert genug bin um das zu bezahlen.

zweitens HABE ich die ganze afgabe schon ausgerechnet, den Grad gestellt, es nach x und y abgeleitet, und hab dan 0,0 eingesetzt fur x und y und bei mir ist rausgekommen:

H=( -2 1) (also so wie bei dir)
      ( 1 0)

doch wenn ich jetzt die eigenwerte ausrechnen will kommt raus:

det(H - xE) = (-2-x)(-x) - 1*1 = x² + 2x - 1. dan dass in der Diskriminanten formel eingesetzt kommt raus:

X_1,2, = (-1 ± √8)/2

also ist die Hesse matrix negativ definit und sie hat eine negative und eine positive nullstelle.

Heist das jetzt das die matrix einen extremum im punkt 0,0 hat???

der über dir hat gesagt wenn die matrix indefinit ist und sie einen negativen und positive nullstelle hat, hat sie keinen extremum sondern einen SATTELPUNKT

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Lieber unbekannter Freund ( Deinen Namen kann ich nirgends entdecken )

Wie du diese Eigenwerte berechnest ( und wie das in den Büchern steht ) ist doch Mega umständlich. Was suchst du? Jenes Polynom

x ² - p x + q = 0   ( 1 )

desen Wurzeln die Eigenwerte E1;2 sind. Und da besinnen wir uns auf den Satz von ===> Vieta ; natürlich steht das nirgends, weil ja sonst den Studenten etwas klar würde:

p = E1 + E2 = Sp ( H ) = ( - 2 )  ( 2a )

q = E1 E2 = det ( H )   ( - 1 )  ( 2b )

x ² + 2 x - 1 = 0   ( 3 )

Ist dir klar, wie ich das mache? Das ist doch was für Abschreiberlinge und Spickzettel ...

Jetzt sage ich aber etwas anderes. Was hier abgeht, merkst du doch auch, ohne diese Eigenwerte explizit zu berechnen. Sind beide Eigenwerte negativ, so hast du Maximum. Das ist genau dann der Fall, wenn

Sp ( H ) < 0 ; det ( H ) > 0   ( 4a )

Umgekehrt sind sie positiv, hast du Minimum. entsprechend muss gelten

Sp ( H ) > 0 ; det ( H ) > 0   ( 4b )

Und für Sattelpunkt brauchst du

E1 < 0 < E2 ===> det ( H ) < 0   ( 5 )

Okay; natürlich ist ( 3 ) eine Übung in MF . Die Eigenwerte lauten

E1;2 = - 1 -/+ sqr ( 2 )    ( 6 )

Hier mein Sarkasmus hat schon Gründe. Hast du je gelernt, wie man die Probe auf eine quadratische Gleichung macht? Ich auch nicht. Das geht nämlich mit Vieta; wenn du das einmal versucht hast, wirst du das nie mehr vergessen.

Es gibt sogar nochwas. Das gehört aber nicht hierher. Ich war schon weit über 50 ; da verriet mir der User " Ribek " bei der Konkurrenz " Lycos " ein Teorem über die Nullstellen von Polynomen.

Dieses Ribekteorem hat für quadratische Gleichungen der Art einschneidende Konsequenzen, dass wir als biologische Art " Homo Sapiens " zum ersten Mal sagen können: Im intergalaktischen IQ schneiden wir miserabel ab ...

Dann kamen so Schüler

" Wer hilft mir; ich kann die MF noch nicht. "

Mein ich

" Für dein Zeug hab ich nur ein müdes Grinsen; wer den Ribektest nicht besteht - ab in den Papierkorb ... "

Und dann kam der User " Affensupport " Der warf mir vor, ich sei ein " Troll "

Der Entdecker des Ribekteorems sei in Wirklichkeit Gauß.

Steht sogar in Wiki drin.

Nur - wenn das so ist. Warum kennt das kein Lehrer?

Es ist doch effektiv so, dass die guten Schüler ihrem Lehrer eine lange Nase drehen, schon um nicht als Streber da zu stehen ...