Question

Beweisen oder widerlegen Sie: Es gibt Ereignisse A,B mit 0 < P(B) <1, P(A|B) = P(A) und P(A∩B) = P(A∪B).

Answer 1

Hi, wenn \( P(A \cup B) = P(A \cap B)  \) folgt
$$ (1) \quad  P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P( A \cap B) $$ also
$$ (2) \quad P(A\cap B) = \frac{P(A) + P(B)}{2}  $$
und wenn \( P(A|B) = P(A) \) gilt, folgt
$$ (3) \quad P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A) $$ also
$$ (4) \quad P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$
Aus (2) folgt dann
$$ (5) \quad 2 = \frac{1}{P(A)} + \frac{1}{P(B)} $$ was ein Widerspruch zu \( P(B) < 1 \) ist, da für \( P(A) \le 1 \) und \( P(B) < 1 \) gilt,
$$ \frac{1}{P(A)} + \frac{1}{P(B)} > 2  $$ Also gibt es solche Ereignisse \( A \) und \( B \) nicht.