Begrenztes Wachstum. Absatz eines Küchengeräts

Question

Aufgabe: bei der Markt Einführung wird ein Küchengerät 2000 mal verkauft. Umfragen zufolge kann das Gerät max. 20.000 mal verkauft werden. Die verkaufsrate ist zu Beginn am größten.

• Wie viele Geräte sind nach 10 Monaten verkauft?

• Wann ist die Hälfte der max. Anzahl verkauft?

Answer 1

N(t) = 20000 - 18000·e^{- k·t}

Mir fehlt hier noch eine Information um an das k zu gelangen.

Comments

Das ist auch noch gegeben: f(x)= -18 • e^-0,15x + 20

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f(x) = 20 - 18·e^{- 0.15·x}

Wie viele Geräte sind nach 10 Monaten verkauft?

f(10) = 20 - 18·e^{- 0.15·10} = 15.98

Wann ist die Hälfte der max. Anzahl verkauft? 

f(x) = 20 - 18·e^{- 0.15·x} = 10

x = 3.919

Nach ca. 4 Monaten ist die Hälfte verkauft.

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Oh vielen Dank!!! :)))) das mit dem halben Jahr habe ich eben auch endlich hin bekommen und es kommt das gleiche raus. Unter dieser Frage hat "mathef" auch noch einen Lösungsweg bei dem etwas anderes raus kommt, gepostet...

Bist du dir ganz sicher das das richtig ist?

Bin gerade etwas verwirrt

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Sind jetzt nur rund 16 Geräte nach 10 monaten verkauft?

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Nein 16000. Wenn du mal schaust sind die Werte der Funktion offensichtlich in Tausend angegeben.

Answer 2

Ansatz  Verkaufsrate  v(t) nach t Monaten

v(t) = S*e ^k*t  S=2000            also v(t) = 2000 * e ^kt
Ansatz:   Integral von 0 bis unendlich v(t) = 20000 
 
2000 * (-1 / k) = 20000
                k = -0,1
also
v(t) = 2000 *   e ^-0,1*t  
also nach 10 Monaten
Integral von 0 bis 10  v(t) = 2000* [ -10 * e ^-t/10  ] in den Grenzen von 0 bis 10
= 2000*(10-10/e)
 =12642

Hälfte ist 10000 also
2000* [ -10 * e ^-t/10  ] in den Grenzen von 0 bis z          = 10000
2000(10-10*e ^-z/10 ) = 10000
                 10 - 10*e ^-z/10=5
                      -10*e ^-z/10 =- 5
                          e ^-z/10 = 0,5
                           -z/10 = ln(5) =  -0,6931
                                    z = 6,9
Also nach etwa 7 Monaten die Hälfte verkauft.
                              

Comments

Bist du dir sicher das das richtig ist?

Aber trotzdem schon mal vielen vielen Dank :)

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Ist natürlich die Frage wie das mit der "Rate" zu interpretieren ist.

Bei der anderen Lösung ist das ja die Zahl der verkauften Geräte; ich

habe das mehr so als "Zahl der pro Monat verkauften Geräte" interpretiert.

Außerdem hattest du anfangs die Gleichung  f(x) =  -18 • e^-0,15x + 20

nicht genannt.  Aber was soll dann die Angabe mit den 20000 ?