Aufgabenstellung:
"Verwenden Sie $$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$ zur Berechnung folgender Grenzwerte (ohne verwendung der l'Hospitalischen Regel)."
1. $$\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \cdot \cot x$$
Mein Lösungsvorschlag: $$\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \frac{\cos x}{\sin x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} x \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\sin x} \cdot \frac{\sqrt{1- \sin^2 x}}{\sqrt{1-\sin^2 x}} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} x \frac{1 - \sin^2 x}{\sin x(\sqrt{1-\sin^2 x})}$$ Weiter komme ich leider nicht. Ich sehe hier, dass ich hier schon die Form $$\frac{x}{\sin x}$$ habe, wobei ich aber nicht weis, wie ich jetzt nun cos x wegbekommen soll und den Nenner und den Zähler tauschen soll.
2. $$\lim\limits_{x \rightarrow \pi} \frac{\sin 3x}{\tan 5x}$$
Mein Lösungsvorschlag: $$\lim\limits_{x \rightarrow \pi} \frac{\sin 3x}{\frac{\sin 5x}{\cos 5x}} = \lim\limits_{x \rightarrow \pi} \frac{\sin 3x}{1} \cdot \frac{\cos 5x}{\sin 5x}$$ Ich könnte mir Vorstellen irgendwie dies zu benutzen: $$\sin (2x + x) = \sin 3x \cos x + \sin x \cos 2x$$ doch komme ich hiermit nicht weiter, um sin 5x umzuformen.
Wir dürfen desweiteren die Umformungen $$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\sin (\frac{x}{2})^2}{(\frac{x}{2})^2} \& \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x}\sin x = 0 $$ benutzen.
