Wachstumsfunktionen gemischt

Question

Modellieren Sie das Wachstum der Weltbevölkerung für den Zeitraum 1950 bis 2000 und erstellen Sie Prognosen für die Zukunft:

1262	1650	2520	6057	9322
1850	1900	1950	2000	2050

a.) Berechnen Sie unter Annahme eines linearen Wachstums den jährlichen absoluten Zuwachs der Weltbevölkerung. Berechnen Sie, wie viele Menschen 2050 bei linearem Zuwachs zu erwarten sind. Geben Sie an, wann die 10 Mrd. Grenze überschritten wird.

R:

Lineare Wachstum 
t im Jahr 1950 = 0 
( 0 | 2520 ) 
( 50 | 6057 ) 

m = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 ) 
m = (  6057-2520 ) / ( 50 -0 ) 
m = 70,74

y = 70,74 * x + 2520

Zuwachs pro Jahr: 70,74 Millionen Menschen 

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Wieviele Menschen sind bei diesem Wachstum 2050 zu erwarten:

y(50)=70,74*200+2520

=16668 

Soll ich hier für das X die 200 einsetzen?

b.) Berechnen Sie unter Annahme eines exponentiellen Wachstums den jährlichen prozentuellen Zuwachs und die Verdoppelungszeit der Weltbevölkerung. Bestimmen Sie, wie viele Menschen 2050 bei exponentiellem Zuwachs zu erwarten sind. Ermitteln Sie, wann die 10 Mrd. grenze überschritten wird.

R:

y ( x ) = y0 * f^x 
y ( 50 ) = 1262 * f^50 = 9322
1262 * f^50 = 9322  /:1262
f^50 = 7,386
f=7,386^{1/50}

f=1,040802

Prozentaler Zuwachs : 1-1,040802=0,040=4%

Verdopplungszeit 
1.04082^x = 2 
x = ln (2 ) / ln ( 1,04082 ) 
x = 17,32 Jahre

t für 2050 = 50
y ( x ) = 1262 * 1.04082^x 
y ( 50 ) = 1262 * 1,04082^50
y ( 24 ) = 9329,12 Mio

y ( x ) =  1262 * 1.04082^x = 10
1262 * 1.04082^x = 10
1.0539^x = 10 / 1262 
x = ln ( 10 / 1262 ) / ln ( 10539 ) 
x = -0,52 Jahren

.Ps.: Bei "Wieviele Menschen sind bei diesem Wachstum 2050 zu erwarten" wusste ich nicht mehr was ich für x einsetzen soll. 

Answer 1

a.) Berechnen Sie unter Annahme eines linearen Wachstums den jährlichen absoluten Zuwachs der Weltbevölkerung. Berechnen Sie, wie viele Menschen 2050 bei linearem Zuwachs zu erwarten sind. Geben Sie an, wann die 10 Mrd. Grenze überschritten wird.

m = (6057 - 2520)/(2000 - 1950) = 70.74 Millionen

y = 70.74 * (x - 1950) + 2520 = 70.74·x - 135423

y(2050) = 70.74·2050 - 135423 = 9594 Millionen

y = 70.74·x - 135423 = 10000 --> x = 2055.7 

Comments

b.)

R:

2520*f^50=6057  /:2520

f^50=2,4035

f=2,4035^{1/50}

f=1,01769

f....=(1+i)....i=1,01769-1=0,01769...=1,77%

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Verdoppelungszeit:

R:

1,01769^x=2

x*LN(1,01769)=LN(2)  /:LN(1,01769)

x=LN(2)/LN(1,01769)

x=39,52 Jahre.

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Überschreitung der 10 Mrd. Grenze:

R:

y(x)=2520*1,01769^x=1000   /:1000

2520*1,01769^x=1000   /:2520

1,01769^x=0,3968  /*LN

x*LN(1,01769)=LN(0,3968)

x=LN(0,3968)/LN(1,01769)

x=-52,71

Ich weiß nicht was ich auf der rechten Seite der Gleichung, zu Beginn für die 10 Milliarden einsetzen soll aber die 1000 stimmen anscheinend nicht.

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