Entscheiden Sie, ob die angegebenen Mengen V mit den angegebenen Verknüpfungen einen Vektorraum bilden.

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die angegebenen Mengen \( V \) mit den angegebenen Verknüpfungen einen Vektorraum \( (V,+, \cdot) \) bilden. Dabei sei der Körper \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \), wenn \( \mathbb{K} \) nicht anders angegeben ist. Geben Sie alle nicht erfüllten Eigenschaften für die Strukturen an, die keinen Vektorraum bilden, und begründen Sie diese.

a) Die Menge aller Vektoren im \( \mathbb{R}^{2} \operatorname{mit} \max \{x, y\} \geq 0 \) mit der gewöhnlichen Vektoraddition und skalaren Multiplikation (Def. 3.1. Kap. 1 im Skript)

b) Der \( \mathbb{R}^{2} \) mit der Addition: \( \left(\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}x_{2} \\ y_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+1 \\ y_{1}+y_{2}+1\end{array}\right) \) und der gewöhnlichen Vektormultiplikation

c) Die Menge aller positiven, reellen Zahlen (inkl. 0) mit der Addition: \( \oplus: x \oplus y=x y \) und skalaren Multiplikation \( \odot: c \odot x=x^{c} \)

d) Für die Potenzmenge \( \mathcal{P}(M)=\mathbb{K}=V \) einer endlichen Menge \( M \) mit der symmetrischen Differenz, als Addition und der Multiplikation: \( \circ: A \circ B:=M \backslash(A \Delta B) \).

e) Sei \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_{2} . \) Die Menge aller Vektoren in \( \mathbb{Z}_{2} \times \ldots \times \mathbb{Z}_{2}=\mathbb{Z}_{2}^{n} \) mit einer geraden Anzahl Einsen über \( \mathbb{Z}_{2} \) mit der gewöhnlichen Vektoraddition und Vektormultiplikation.

(Hinweis: Es sind insgesamt 10 Eigenschaften die nach der Definition zu überprüfen sind.)

Answer 1

a) nein .  Gehen wir etwa aus von u := ( 1 | 1 ) € V Wenn du aber betrachtest v := ( - 1 ) * u , so sind beide Komponenten von v negativ.
   b) nein Angenommen, v wäre ein Vektorraum. Dann gilt doch für alle Vektoren x


     0 * x = 0   ( 1 )


   Wenn ich einen beliebigen Vektor mit Null multipliziere, kriege ich das Nullelement aus V . In unserem Falle soll das aber ( 0 | 0 sein. )  Nach der Additionsregel ergäbe das


   ( 0 | 0 ) + ( x | y ) = ( x + 1 | y + 1 )  ( 2 )


   c) nein. Ist v bezüglich der vereinbarten Addition eine Gruppe? Dann müsste


   a + b = a + c ===> b = c   ( 3a )


    Nach unserer Definition ist aber


    0 + x = 0 (V) x     ( 3b )

 
    d) verstehe ich nicht; was ist Delta ; was ist symmetrische Differenz?

   e) klingt so nach Tensoren; war ich noch nie so begeistert von. Scheint aber zu stimmen.

Comments

Delta ist die symmetrische Differenz, also

AΔB =  (A∪B)\(A∩B)

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Zu d) möchte ich doch was los werden - die hat s in sich. So erstaunlich es klingen mag - diese " Entweder-oder " Verknüpfung ist tatsächlich eine Gruppenverknüpfung. Nullelement ist die leere Menge, und jede Menge ist zu sich selbst invers.

Genau darin liegt aber das Problem.

A + A = 2 A = 0   ( 1 )

Kann man sowas zulassen? Nach dem distributivgesetz

A + A = ( 1 + 1 ) A = 2 A   ( 2 )

Angenommen es gäbe k mit

k A = 0 | : k   ( 3a )

k^-1 ( k A ) = ( k^-1 k ) A = A = 0   ( 3b )

d.h. so etwas wie ( 1 ) könntest du in einem Vektorraum nur zulassen, falls ===> Charakteristik 2 vor liegt.

Wir haben somit bewiesen: Es ist i.A. gar nicht möglich, unsere Gruppe zum Vektorraum aufzurüsten. Das musste einmal gesagt werden.

Aaaber. Was uns in der Aufgabe angeboten wird, ermangelt ja jedweden Bezuges ( beachte das Genitivobjekt ) zu einem Zahlenkörper; das ist eine Verknüpfung, wo V in seinem eigenen Saft schmort.

Ich vermisse den Körper, wo V drüber macht; nur dann dürfte man ihn einen Raum " über " einem solchen nennen ...

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Ich neige ja sehr zu den edlen Ansichten - siehe Genitivobjekt.
  Im Grunde ist die skalare Multiplikation ein Körpermorphismus; ihr Bild ist isomorph de  beiden Körperverknüpfungen. Das meint man im Grunde mit Distributiv ( Addition ) und Assoziativgesetz ( Multiplikation. )
  Nun sind Körper ja Nullteiler frei; kein Element außer k = 0 bewirkt k v = 0