Aufgabe:
Man soll die Gleichheit (Äquivalenz) folgender Integrale zeigen:
\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{x}{e^{x}-1} d x=\int \limits_{0}^{1} \frac{\ln (x)}{x-1} d x=\int \limits_{-1}^{0} \frac{\ln (1+x)}{x} d x=\frac{\pi^{2}}{6} \)
Ansatz/Problem:
Den Wert hab ich raus bekommen mit der Logarithmus Reihe.. Die Äquivalenz vom zweiten und dem dritten Integral zu zeigen war auch nicht schwer (mittels Substitution).. Es hakt nur noch daran zu zeigen, dass das erste integral ebenfalls gleich den anderen beiden ist. Ich kann es jedoch nicht in eines der anderen beiden Integrale überführen.. Und es direkt auszurechnen wüsst ich grad auch nicht wie..
Bisher hab ich folgendes:
\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{x}{e^{x}-1} d x \quad u=e^{x}-1 \Leftrightarrow x=\ln (u+1) \Rightarrow d u=(u+1) d x \)
\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{\ln (u+1)}{u} \frac{d u}{(u+1)}=\int \limits_{0}^{\infty} \frac{\ln (u+1)}{u} d u-\int \limits_{0}^{\infty} \frac{\ln (u+1)}{(u+1)} d u \)
Mehr hab ich leider nicht.
