Eigenwerte von Endomorphismus mit linear abhängigen Vektoren

Question

kann mir vielleicht jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?

Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, und f:V -> V ein Endomorphismus. Angenommen für ein r>=0 sind die zwei Vektoren f^r ,f^{r+1} c EndK(V) linear abhängig. Zeigen Sie, dass f höchstens zwei Eigenwerte besitzt.

Stellen Sie weiterhin eine Vermutung für den Fall auf, dass f ^r....f ^r+d in End_K(V) linear abhängig sind.

Answer 1

$$ f^r, f^{r+1} \text{ linear unabhängig } \Rightarrow \exists \mu \in \mathbb{K}\setminus \{0\}: \mu f^r (x) = f^{r+1} \quad \forall x\in V  $$

$$\text{Sei } \lambda \text{ Eigenwert von } f  \Rightarrow \forall x \in E_{\lambda}(V): \\ \mu f^r(x) = \mu \lambda^rx = \lambda^{r+1}x = f^{r+1}(x) $$

Der letzte Schritt sei dir überlassen, aber es sollte ab hier klar sein.

Gruß