Für welche n ∈ N gelten die folgenden Ungleichungen? Π k^k < n^ (n(n+1))/2

Question

Aufgabe:

Für welche n ∈ N gelten die folgenden Ungleichungen?

\( \prod \limits_{k=1}^{n} k^{k}<n^{\frac{n(n+1)}{2}} \)

Answer 1

Hi

hier mal eine alternative Lösung.

für \( n \geq 2\) beachte:

$$ \Large \prod_{k=1}^n k^k < \prod_{k=1}^nn^k = n^{\sum \limits_{k=1}^n k} = n^{\frac{n(n+1)}{2}} $$

Gruß

Answer 2

Hi, die zu beweisende Ungleichung gilt sicher nicht für \( n = 1 \) wie man leicht ausrechnet, weil dann gelten müsste \( 1 < 1 \) was ja nicht richtig ist. Für \( n = 2 \) gilt die Ungleichung.
Der Beweis das die Ungleichung für alle \( n \ge 2 \) gilt, wird nun über Induktion über \( n \) geführt. Allerdings logarithmiere ich die Ungleichung zuerst, was  zu folgender Ungleichung führt.
$$ (1) \quad \sum_{k=1}^{n} \left[ k \cdot ln(k) \right] < \frac{n(n+1)}{2} \cdot ln(n) $$
Zu zeigen ist also
$$ (2) \quad \sum_{k=1}^{n+1} \left[ k \cdot ln(k) \right] < \frac{(n+1)(n+2)}{2} \cdot ln(n+1)  $$
Die linke Seite von (2) ergibt mit der Induktionsvoraussetzung
$$ (3) \quad \sum_{k=1}^{n+1} \left[ k \cdot ln(k) \right] < \frac{n(n+1)}{2} \cdot ln(n) + (n+1)\cdot ln(n+1) $$
$$ < (n+1) \cdot ln(n+1) \left[ \frac{n}{2} + 1 \right] $$ was zu beweisen war.

Comments

habe vergessen zu sagen, der Prof möchte das ohne ln(). Wie würde es dann gehen, ln() ist noch nicht definiert in unserer Vorlesung. Mit Induktionsprinzip möchte er das gemacht haben.

Answer 3

Du kannst über vollständige Induktion zeigen, dass es für n >= 2 gilt.

Zeige also zunächst das es für n = 2 gilt.

Zeige danach das es für n + 1 gilt, wenn es auch für n gilt.