0 Daumen
7,2k Aufrufe

Sehr geehrte MatheLounge Community,

die Aufgabe lautet: Man zeige, dass für alle n ∈ N, n ≥ 2, gilt \( \prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right):=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \cdot\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n} \)

Hier ist mein Ansatz:

Induktionsanfang: n=2,         1-1/22 = 0,75

                                              (2+1)/2*2 = 0,75

Induktionsschritt: (1 - 1/(n+1)2 ) * (n+1)/2*n.


Aber jetzt weiß ich leider nicht wie ich weiter vorgehen soll.


Maxxxieking

Avatar von

Vom Duplikat:

Titel: Produktfolge (1-1/k^2) Induktionsbeweis

Stichworte: induktion,produktionsfunktion,folge

Sehr geehrte MatheLounge Community,

die Aufgabe lautet: Man zeige, dass für alle n ∈ N, n ≥ 2, gilt Bild Mathematik

Hier ist mein Ansatz:

Induktionsanfang: n=2,         1-1/22 = 0,75

                                              (2+1)/2*2 = 0,75

Induktionsschritt: (1 - 1/(n+1)2 ) * (n+1)/2*n.


Aber jetzt weiß ich leider nicht wie ich weiter vorgehen soll.


Maxxxieking

Entschuldigung, Ich habe die Frage zweimal gestellt, weil Ich doppelt auf den Knopf gedrückt habe nachdem mir gesagt wurde die Frage existiert bereits.

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo Maxxxieking,

A(n) :    k=2n ( 1 - 1/k2)  =  (n+1) / (2n)

Induktionsschritt   A(n)  →  A(n+1)

k=2n+1 ( 1 - 1/k2)   =   ( k=2n ( 1 - 1/k2) ) *  (1 - 1/(n+1)2 ) 

                                =IV   (n+1) / (2n)  *   (1 - 1/(n+1)2 )

                                      ausmultiplizieren und hinteren Bruch durch n+1 kürzen:

                                =   (n+1) / (2n) -  1 / ( 2n * (n+1) )

                                        auf gemeinsamen Nenner bringen:

                                =   ( (n+1)2 - 1 ) / ( 2n * (n+1) )

                                      1. binomische Formel:

                                =   ( n2 + 2n + 1 - 1) / ( 2n * (n+1) )

                                         oben zusammenfassen und n ausklammern:

                                =  n * (n+2) / ( 2n * (n+1) )

                                =  (n+2) / ( 2 * (n+1) )     [ = ( n+1 + 1) ( 2 * (n+1) )  ]

Gruß Wolfgang 

Avatar von 86 k 🚀
0 Daumen

Hallo Maxxxieking,

Bild Mathematik

Beste Grüße

Avatar von 11 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community