Beweis Folge Limes(an*bn)=a*b

Question

ich sitze hier gerade am Thema Folgen und die Beweise führen bei mir nur zu Fragezeichen.

Es geht um die Rechgenregeln von konvergenten Folgen.

Die Folge (an*bn) strebt gegen a*b, das gilt es zu beweisen.
|an*bn-a*b|<E    E(Epsilon)

|an*bn-an*b+an*b-a*b|

|an(bn-b)|+|b(an-a)|

|an|*|bn-b|+|b|*|an-a|<E

Das soll der wohl sein ich habe keine Ahnung was mir das am Ende jetzt nun genau sagt. Fals sich jemand auskkent könnte er mit die für die Anderen Regeln *,+,/, zeigen? Oder erklären wie es geht.

Answer 1

Etwas ausführlicher wäre es wohl so:

Sei eps > 0.

Dann ist zu zeigen (nach Grenzwertdefinition) : Es gibt  ein N mit

n>N ==>   |an*bn-a*b|<eps             #

Weil an und bn konvergent sind hast du als Voraussetzung:

Zu jedem E>0 gibt es

1. ein N1 mit   n>N1 ==>  |an-a|<E    E(Epsilon)    und

2. ein N2 mit   n>N2 ==>  |bn-b|<E    E(Epsilon)   .

Für N = max(N1,N2) gilt also

n>N ==>    |an-a|<E     und   |bn-b|<E  .

Daraus musst du irgendwie # herleiten.

Durch die trickreiche Umformung, die man dir gezeigt hat, hast du ja gelernt

|an*bn-a*b| = |an*bn-an*b+an*b-a*b| = |an*(bn-b)+b*(an-a)|

≤  (Dreiecksungleichung !)   |an*(bn-b)|+|b*(an-a)|

= (Rechnen  mit Beträgen !)  |an|*|bn-b|+|b|*|an-a|

Jetzt ist nur zu begründen, wieso das für hinreichend großes n

kleiner E sein muss. Etwa so:  Da an konvergent ist, ist die Folge

auch beschränkt, also hat |an| eine positive obere Schranke , etwa S.

Also gilt  |an|*|bn-b| <  S*|bn-b|  und weil (s.o) |bn-b| < E gilt also

                |an|*|bn-b| < S*E .

Entsprechend |b|*|an-a| < b*E also auch

 |an|*|bn-b|+|b|*|an-a| < S*E + |b|*E = (S+|b|)*E  ## .

Sei also ( siehe ganz am Anfang) eps > 0 gegeben,

Und da das Folgende ja für jedes E>0 gilt, gilt es auch

für E eps/ (S+|b|).  Damit wird ## zu

|an|*|bn-b|+|b|*|an-a| < S*E + |b|*E = (S+|b|)*E  = (S+|b|)*eps/ (S+|b|) = eps.

Somit ist # gezeigt.

Für die Addition zweier Folgen ist es allerdings deutlich einfacher.

Nimm den gleichen Ansatz und du kommst dann auf:

Zu zeigen ist  n>N ==>  | an+bn - (a+b) | < eps

woraus du  | (an-a)  +  (bn - b) | < eps erhältst

und die Dreiecksungleichung bringt dich ans Ziel.

Answer 2

Aloha :)

Zu zeigen:$$(a_n)\to a\text{ und }(b_n)\to b\quad\Rightarrow\quad (a_nb_n)\to ab$$

Schritt 1: Zeige, dass eine konvergente Folge stets beschränkt ist.

Da \((a_n)\to a\) konvergiert, gibt es ein \(n_0\), sodass \(|a_n-a|<1\) für alle \(n\ge n_0\). Das heißt:$$|a_n|=|a+a_n-a|\le|a|+|a_n-a|\le|a|+1\quad;\quad n\ge n_0$$Sei \(M_a:=\max\{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_{n_0-1}|, (|a|+1)\}\), dann gilt \(|a_n|\le M_a\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).

Schritt 2: Zeige die Konvergenz der Produktfolge und ihren Grenzwert.

Nach Schritt 1 sind \((a_n)\) und \((b_n)\) beschränkt, d.h.$$|a_n|\le M_a\quad;\quad |b_n| \le M_b\quad\text{für alle }n\in\mathbb{N}$$Wir setzen \(M:=\max\{M_a,M_b\}\). Wegen der Konvergenz der Folgen gibt es zu jedem \(\varepsilon>0\) natürliche Zahlen \(n_a\) und \(n_b\), sodass$$|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2M}\;\;\text{für}\;\;n\ge n_a\quad;\quad |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2M}\;\;\text{für}\;\;n\ge n_b$$Für alle \(n>=\max\{n_a,n_b\}\) gilt dann:

$$|a_nb_n-ab|=|a_n(b_n-b)+(a_n-a)b|\le|a_n||b_n-b|+|a_n-a||b|$$$$\phantom{|a_nb_n-ab|}<M\frac{\varepsilon}{2M}+\frac{\varepsilon}{2M}M=\varepsilon\quad\checkmark$$