Komplexe Nullstellen in kartesischer Darstellung: x_(2) = -2 * 4√(-1)

Question

Ich habe als Aufgabe die komplexen Nullstellen eines Polynoms zu berechnen und danach diese in kartesischer Darstellung anzugeben.

Die Nullstellen auszurechnen ist kein Problem aber wie schreib ich die jetzt in kartesischer Darstellung?

Z.B. die Nullstelle x₂ = -2 * ⁴√(-1)

Hoffe mir kann das Jemand erklären,

MfG

Answer 1

-2 * ⁴√(-1)dazu betrachstest du 

-1 als komplexe Zahl in der Zahlenebene ist der Pfeil von 0 bis (-1 ; 0)

also sozusagen auf der negativen reellen Achse.

Bei 4. Wurzel wird der Winkel geviertelt, also 45° gegen die positive reelle Achse

also etwas in der Form   a + a*i  und damit die Länge 1 ergibt a=  1/wurzel(2)

also   insgesamt -2 * ⁴√(-1) = -2 * ( 1/wurzel(2) +  1/wurezl(2) * i )

= -2 /wurzel(2) - 2 /wurezl(2) * i

= -wurzel(2)  + wurzel(2) * i  

Comments

Vielen dank für deine schnelle antwort.

Ich versteh noch nicht ganz wie du auf das a = 1/wurzel(2) gekommen bist?

Könntest du das nochmal erläutern?

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also der Winkel ist 45° und damit z = a + a*i

(liegt also auf der ersten Winkelhalbierenden)

Da  ⁴√(-1) den Betrag 1 haben muss, muss

ja  a^2 + a^2 = 1 gelten, also 2a^2 =1   a^2 = 1/2  also

a = wurzel(1/2) =   1 / wurzel(2)   denn a muss ja positiv sein,

weil    * ⁴√(-1)     im 1. Quadranten liegt.

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Ok super, danke für die gut Erklärung!