Betrachten Sie das Dreieck mit den Randpunkten. Berechnen Sie folgende Integrale.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie das Dreieck \( \Delta \subset \mathbb{C} \) mit den Randpunkten \( -1,1, i . \) Berechnen Sie folgende Integrale:

(i) \( \int \limits_{\partial \Delta}|z|^{2} d z \)

(ii) \( \int \limits_{\partial \Delta}\left(z^{4}-2 z+1\right) d z \)

(iii) \( \int \limits_{\partial \Delta} \frac{1}{z+i} d z \).

Dabei ist ∂Δ = [-1,1], [1,i], [i,-1].

Answer 1

ii ) ist ganz leicht; wir haben ein Polynom. Auf Grund des Cauchyschen Integralsatzes ( CIS ) muss da Null raus kommen - eine ganze funktion hat keine Singularitäten. Und bei iii) liegt der Pol ja außerhalb des Dreiecks. Bleibt einzig i; die Funktion

f ( z ) ;= z z*   ( 1 )

Die Basis des Dreiecks wird beschrieben durch die parametrisierte Geradenfgleichung

z = t    ;    -1 < = t < = 1    ( 2 )

$ z z* dz = $ t ² dt = 1/3 t ³ | -1 ; + 1 ]  = 2/3     ( 3 )

Der rechte Schenkel ist die Strecke von 1 nach i :

z ( t ) = 1 + ( i - 1 ) t ; 0 < = t < = 1  ( 4a )

z z* = 2 t ² - 2 t + 1  ( 4b )

( dz/dt ) = i - 1   ( 4c )

$ rechter Schenkel = ( i - 1 ) $ ( 2 t ² - 2 t + 1 ) dt   ( 4d )

Bei dem linken Schenkel ist erstens der Realteil zu spiegeln; und zweitens ist sein Beitrag ja abzuziehen, so dass wir insgesamt den doppelten Realteil erhalten:

$ beide Schenkel = - 2 $ ( 2 t ² - 2 t + 1 ) dt = ( 5a )

= - 4/3 + 2 - 2 = - 4/3   ( 5b )

Also insgesamt mit ( 3 ) = ( - 2/3 )   Ein schönes Beispiel, dass Stetigkeit alleine noch nicht hinreicht für Integrierbarkeit