Ich glaube wir machen das heute bissele anders. Vieta das geschmähte Stiefkind; ich lege den Rückwärtsgang ein. Wir behaupten, die Lösung unseres Problems wird durch die beiden Wurzeln x1;2 einer quadratischen Gleichung ( QG ) gegeben:
x ² - p x + q = 0 ( 1 )
Als Nächstes vergebe ich die genaue Bedeutung der beiden Wurzeln:
x2 := 25 - n ( 2a )
x1 : = n - 17 = - ( 17 - n ) ( 2b )
Dann folgt aus dem Satz von Vieta zunächst mal
p = x1 + x2 = 25 - 17 = 8 ( 3a )
D.h. der entscheidende Rechentrick besteht gerade darin, dass sich n heraus kürzt. Wenn ich jetzt Vieta q anwende, dann achtet mal darauf, wie die 153 aus der Voraussetzung unserer Aufgabe heraus kommt:
q = x1 x2 = ( - 153 ) ( 3b )
x ² - 8 x - 153 = 0 ( 3c )
Nein; da muss ich euch jetzt enttäuschen. Mitternachtsformel is nich bei mir. Ich möchte bei euch viel mehr Verständnis dafür wecken, was Zahlen theoretisch möglich ist und was nicht. Bei einer QG stellt sich doch ganz typisch die Alternative: Entweder sie ist prim, das Minimalpolynom ihrer Wurzeln. Oder eben sie zerfällt in zwei rationale Linearfaktoren ( RLF )
x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q ( 4 )
Und da gibt es einen Lehrsatz; in Wiki heißt er " Gaußsches Lemma " Und der schlug bei mir ein wie eine Bombe; den Augenblick der Erleuchtung bezeichnet das japanische ===> Zen als ===> Satori . Nur eben; wenn ihr unter Gaußsches Lemma googelt, findet ihr alles, nur nicht das:
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
" WARUM sind Wurzel ( 2 ) und 4 711 ^ 1/14 irrational ? "
Na habt ihr euch vom eurem ersten Schreck erholt? Ich werde hier die wichtigsten Thesen vortragen, warum dieser Satz " nie in se Leben " von Gauß stammt.
Sein Beweis sei " trivial " , beschied mich ein Kommentator. Somit hatten wir 200 Jahre Zeit, den Irrationalitätsbeweis von Wurzel ( 2 ) auf den neuesten Stand zu bringen ..
Normierte ( " monic " ) Polynome so wie unser ( 3c ) können wenn ÜBERHAUPT rationale, so nur GANZZAHLIGE wurzeln haben - eine Aussage, die für obige und ähnliche Zahlenspielchen durchaus Sinn stiftend ist.
Ein Student, der eben dies seinem Assistenten in algebra eröffnete, berichtete in einem Matheportal, wie erstaunt der Typ darauf hin reagiert habe - das sei ihm völlig neu ...
An sich ist Wiki ja fachlich okay; unter jedem Theorem findet man Verallgemeinerungen, die weit über das Verständnis des Durchschnittsstudenten hinaus gehen. Was nun den Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) anlangt, gibt sich Wiki seltsam einsilbig - keine Fortschritte in den letzten 200 Jahren?
Doch; ich selbst habe da Etliches aufzuweisen. ( 3c ) liegt ja vor in ===> primitiver Form ( ganzzahlig gekürzt )
f ( x ) € |Z [ x ] := a2 x ² + a1 x + a0 ( 5a )
Dann folgt, wenn x1;2 in ( 4 ) gekürzt sind
p1 p2 = a0 ( 5b )
q1 q2 = a2 ( 5c )
Erstens meine Entdeckung und zweitens die wohl wichtigste Probe auf QG , die je ersonnen wurde. Und DAS soll Gauß, der " Fürst der Teiler " , nicht erkannt haben, als er seinen SRN aufstellte? Glaub ich nicht.
Wir haben verstanden: Wir müssen sämtliche Zerlegungen von 153 = 3 ² * 17 raten etwas mühsam.
Nichts wird so heiß gegessen - x1 und x2 sind notwendig TEILER FREMD . Woher hab ich jetzt das auf einmal wieder?
Aufgeschoben ist nicht aufgegoben - machen wir erst mal fertig.
Teiler fremd bedutet: Wir dürfen das " Dreierpäckchen " nie aufschnüren; es verbleiben die triviale Zerlegung 153 = 1 * 153 so wie die nicht triviale 153 = 9 * 17 ( Hinreichende ) Probe - überlebenswichtig für jede Klausur - ist immer der Vieta ( 3a )
| x1 | = 1 ; x2 = 153 ; p = 152 ( 6a )
| x1 | = 9 ; x2 = 17 ; p = 8 ( 6b ) okay
Jetzt überlegt mal, wenn dieses Spielchen von Gauß stammen würde. Die Mitternachtsformel ist nicht " straightforward " , ja man muss sagen bei den Schülern seit Je gefürchtet. Dagegen hier wird ein spielerischer Zugang zu QG eröffnet auf der Grundlage von Raten, Teilern und Knobeln - seit Je bei Schülern sehr beliebt.
Und jetzt zu dem ggt. Wennman erst mal eingesehen hat, was passiert, wenn ein Polynom n-ten Grades vollständig in RLF zerfällt. Das ist dann quasi eine Verallgemeinerung von ( 5bc ) Dann fragt man sich doch unwillkürlich; was ist ihr ggt? Hier das fragte ich mich selbst schon, ohne den SRN zu kennen - und Gauß soll sich das nicht gefragt haben???
Sei m ein Teiler; wir beschränken uns hier auf den Fall ( 4;5a ) . Dann gilt
m | p1;2 <===> m | a1 ; m ² | a0 ( 7a )
Ein m, welches die rechte Seite von ( 7a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms f in ( 5a ) heißen ( K wie Koeffizient ) Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt; die Behauptung
ggt p1;2 = gkt ( f ) ( 7b )
Wisst ihr, was ich glaube? Der Entdecker des SRN ist schlicht und ergreifend so ein Probierkönig aus dem Internet wie ich. Du kannst so genial sein wie du willst - auf dich hört echt niemand. Schadet ja nix, wenn man das Lemma dem Gauß in die Schuhe schiebt. es ist ja nur eine Minderheit wie ich, die stutzig wird.
Sie brauchen aber einen Urheber. weil wenn das niemand erfunden hat, dürfen sie es nicht benutzen ...
